[논문 리뷰] Iwasawa theory for elliptic curves at supersingular primes over Z_p-extensions of number fields

Adrian Iovita, Robert Pollack|ArXiv.org|2004. 11. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 p가 완전히 분해되는 수체의 임의의 ℤₚ-확장으로 초월기하 이론을 초순수 소수에서 확장한다. 비정상적인 ℤₚ-확장에서 형식적 군에 대한 새로운 국지적 제어 정리와 제한된 세르머 군 및 ±-불변량을 도입함으로써, 세르머 군과 p-primary 샤파레비치-타이트 군의 성장에 대한 점근적 공식을 유도하며, 이는 이전의 순환 설정에서의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we make a study of the Iwasawa theory of an elliptic curve at a supersingular prime p along an arbitrary Z_p-extension of a number field K in the case when p splits completely in K. Generalizing work of Kobayashi and Perrin-Riou, we define restricted Selmer groups and λ^\pm, μ^\pm-invariants; we then derive asymptotic formulas describing the growth of the Selmer group in terms of these invariants. To be able to work with non-cyclotomic Z_p-extensions, a new local result is proven that gives a complete description of the formal group of an elliptic curve at a supersingular prime along any ramified Z_p-extension of Q_p.

연구 동기 및 목표

• 초순수 소수에서의 타원곡선에 대한 이와사와 이론을 순환 ℤₚ-확장 외의 수체의 임의의 ℤₚ-확장으로 일반화하는 것.
• 형식적 군 위의 추적 사상이 전사가 아닐 때 고전적 제어 정리의 실패를 다루는 것.
• 초순수 설정에서 세르머 군의 갈루아 모듈러 구조를 반영하는 제한된 세르머 군과 ±-불변량을 정의하는 것.
• 임의의 ℤₚ-확장에 따라 p-primary 세르머 군과 샤파레비치-타이트 군의 크기에 대한 점근적 공식을 수립하는 것.
• 전역 가정(E(K)/pE(K)=0, Ш(E/K)[p]=0, p∤Tam(E/K))이 성립할 경우, p-primary 세르머 군과 샤파레비치-타이트 군이 유한하고 그 구조가 정확히 기술된다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 비정상적인 ℤₚ-확장에서 타원곡선의 형식적 군에 대해 새로운 국지적 제어 정리를 증명하여, 추적 사상이 특정 재귀식을 만족함을 보인다: Trⁿₙ₋₁(dₙ) = -dₙ₋₂ (여기서 dₙ ∈ Ê(Lₙ)은 생성자이다).
• 생성자 {dₙ}를 사용하여 형식적 군 위의 추적 사상의 핵과 상사상을 기술함으로써, 비일반적인 경우 갈루아 코hom로지 제어를 가능하게 한다.
• 제한된 세르머 군 Sₙ,Σ(T)를 정의하여 일반적인 세르머 군과 유사하게 행동하게 하여, 이와사와 대수적 p-adic L-함수의 플러스/마이너스 형태를 이와사와 대수에서 구성할 수 있도록 한다.
• 두 가지 동치 버전의 대수적 p-adic L-함수를 구성한다: 하나는 점수 {dₙ}를 통해, 다른 하나는 제한된 세르머 군을 통해; 이 두 구성의 특성 다항식이 일치함을 증명한다.
• 세르머 군, 형식적 군, 코호몰로지 군을 연결하는 가환 다이어그램에 스네이크 보조정리를 적용하여, 세르머 군 크기의 p-adic 값의 공식을 도출한다.
• 카토의 오일러 시스템을 적용하여 특수한 경우(예: K=ℚ 또는 허수 제곱수 K)에서 전역 가정을 검증하고, 기존 결과를 따름으로써 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초순수 소수에서의 타원곡선에 대한 이와사와 이론을 순환 ℤₚ-확장 외의 설정으로 확장하여 수체의 임의의 ℤₚ-확장으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 형식적 군 위의 추적 사상이 전사가 아닐 때, 초순수 설정에서 제어 정리의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 비순환 설정에서 세르머 군의 성장을 반영하는 대수적 p-adic L-함수와 ±-불변량을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 어떤 전역 조건에서 p-primary 세르머 군이 유한하고 그 구조가 정확히 계산 가능한가?
• RQ5 ±-불변량과 국소 자료에 따라 p-primary 샤파레비치-타이트 군의 크기에 대한 정확한 점근적 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 p가 K에서 완전히 분해되는 ℤₚ-확장 K∞/K에 대해, E(K)/pE(K)=0, Ш(E/K)[p]=0, 그리고 p∤Tam(E/K)이면, E over Kn의 p-Primary 세르머 군은 유한하다.
• n이 충분히 클 때, Ш(E/Kₙ)[p∞]의 크기는 p^{μ⁺(pⁿ−pⁿ⁻¹)+λ⁺}로 점근적으로 성장하며, 여기서 μ⁺와 λ⁺는 논문에서 정의한 ±-불변량이다.
• 모든 비정상적인 ℤₚ-확장에서 형식적 군 위의 추적 사상의 상사상과 핵이 완전히 기술된다: coker(Trⁿₙ₋₁) ≅ (ℤ/pℤ)^{dqₙ} 이고, ker(Trⁿₙ₋₁)는 순환군의 곱과 동형이다.
• 제한된 세르머 군의 특성 다항식은 점수 {dₙ}로부터 구성된 것과 일致함을 증명하여, 두 대수적 p-adic L-함수 구성 간의 일致성을 입증한다.
• 대수적 p-adic L-함수가 비영일 경우(즉, 모든 μ⁺, μ⁻, λ⁺, λ⁻가 0), 제한된 세르머 군은 이와사와 대수에서 코터시온이며, 세르머 군의 코랭크는 n에 대해 선형으로 증가한다.
• K=ℚ 또는 p가 분해되는 허수 제곱수 K일 경우, 전역 가정이 성립할 때, 논문은 [9]의 주요 결과를 회복하고, Ш(E/Kₙ)[p∞]의 크기와 갈루아 구조에 대한 정확한 공식을 따름으로써 추론한다.