[논문 리뷰] Iwasawa Theory for Symmetric Squares of Non-$p$-Ordinary Eigenforms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비-$p$-일반적인 고유형식의 대칭 제곱 모티브에 대해 정수 계수의 부호가 있는 베일린스킨–플라치 오일러 시스템을 수립하며, 정수적 및 해석적 이와사와 메인 추측의 포함관계 중 하나를 증명한다. 비정수적인 베일린스킨–플라치 요소의 새로운 인수분해를 통해 이중 부호가 붙은 코homology 클래스를 구성함으로써, 저자들은 오일러 시스템 기법과 $p$-진 $L$-함수를 이용하여 해석적 메인 추측에서의 약분 관계를 증명한다. 이는 비영성 및 산술적 가정 하에 성립한다.

ABSTRACT

Let $f$ be a normalized cuspidal eigen-newform of level coprime to $p$ with $a_p(f)=0$. We formulate both integral signed Iwasawa main conjectures and analytic Iwasawa man conjectures attached to the symmetric square motive of $f$ twisted by an auxiliary Dirichlet character. We show that the Beilinson--Flach elements attached to the symmetric square motive factorize into integral signed Beilinson--Flach elements, giving evidence towards the existence a rank-two Euler system predicted by Perrin-Riou. We use these integral elements to prove one inclusion in the integral and analytic Iwasawa main conjectures.

연구 동기 및 목표

• 비-$p$-일반적인 고유형식 $f$에 대해 $a_p(f) = 0$ 인 경우의 대칭 제곱 모티브에 대해 정수적 및 해석적 이와사와 메인 추측의 포함관계를 제시하고 증명하는 것.
• 비일반적인 상황에서의 비정수성 장벽을 극복하기 위해 비정수적인 베일린스킨–플라치 요소로부터 정수 계수의 이중 부호 오일러 시스템을 구성하는 것.
• 베일린스킨–플라치 클래스를 부호가 있는 성분으로 분해하여 오일러 시스템 분포 관계를 만족시키고, 전체 임계 범위에서 $p$-진 $L$-함수를 보간하는 방법을 확립하는 것.
• 오일러 시스템과 전역 쌍대성 원리를 활용하여 해석적 이와사와 메인 추측에서의 약분 관계를 증명하고, 세일머 그룹과 $p$-진 $L$-함수를 연결하는 것.
• 대칭 제곱 모티브의 맥락에서 페린-루아의 고계 오일러 시스템 추측에 대한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 짝수 디리클레 특성 $\chi$에 대해 $H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi) \otimes H_{E,k+1}(\Gamma)^\iota)$ 내에서 회전된 베일린스킨–플라치 요소를 구성한다.
• 비정수적인 베일린스킨–플라치 클래스를 새로운 방법으로 네 개의 부호가 붙은 클래스 $BF^+, BF^-, BF^\bullet, BF^\circ$로 분해하여 보간 범위를 확장한다.
• 부호가 붙은 콜먼 사상과 국소 제약 조건이 있는 오일러 시스템 기법을 사용하여 부호가 붙은 세일머 조건을 정의하고, 부호가 붙은 클래스가 오일러 시스템 분포 관계를 만족함을 증명한다.
• 전역 포이투–테이트 쌍대성과 상호작용 법칙을 적용하여 부호가 붙은 클래스를 $p$-진 $L$-함수와 연결하고 해석적 세일머 그룹을 유계화한다.
• 세일머 그룹의 특성 이상수의 유계화와 $p$-진 $L$-함수의 보간을 결합하여 해석적 메인 추측에서의 약분 관계를 확립한다.
• $(\phi, \Gamma)$-모듈 기법과 베일린스킨–플라치 클래스의 선형 독립성을 활용하여 해석적 세일머 그룹과 특성 이상수의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-$p$-일반적인 고유형식 $f$에 대해 $a_p(f) = 0$ 인 경우, 대칭 제곱 모티브에 대해 정수 계수의 이중 부호 오일러 시스템을 구성할 수 있는가?
• RQ2 베일린스킨–플라치 요소의 부호 성분으로의 분해가 대칭 제곱 $L$-함수의 전체 임계 범위로 연장되는가?
• RQ3 구성된 오일러 시스템을 사용하여 $\text{Sym}^2 f \otimes \chi^{-1}$에 대해 해석적 이와사와 메인 추측에서의 약분 관계를 증명할 수 있는가?
• RQ4 비영성 조건이 $p$-진 $L$-함수의 비영성으로 이어질 때, 부호가 붙은 오일러 시스템의 비자명성은 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ5 부호가 붙은 콜먼 사상과 세일머 조건은 어떻게 상호작용하여 이와사와 모듈 구조를 정밀하게 제어하는가?

주요 결과

• 저자들은 $H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi))$ 내에서 오일러 시스템 분포 관계를 만족하는 네 개의 부호가 붙은 코homology 클래스 $BF^+_m,\chi, BF^-_m,\chi, BF^\bullet_\cdot,\chi, BF^\circ_m,\chi$를 구성한다.
• 모든 $\clubsuit \in \{+, -, \bullet, \circ\}$에 대해 $m$에 독립적인 정수 $C$가 존재하여 $C \cdot BF^\clubsuit_{m,\chi} \in H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), R_f^* \otimes R_f^*(1+\chi))$임을 보여, 정수성 보장한다.
• $BF^\circ_m,\chi$는 모든 $m$에 대해 식별적으로 0이며, 나머지 세 클래스는 $\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$에 대해 랭크-일의 오일러 시스템을 생성한다.
• $C \cdot BF^+_m,\chi, C \cdot BF^-_m,\chi, C \cdot BF^\bullet_m,\chi$는 $\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$에 대해 (랭크-일의) 오일러 시스템을 이룬다.
• $(\text{NV}), (\Psi_1), (\Psi_2), (\text{Im})$의 가정 하에 $\text{Col}^{\clubsuit \circ\text{resp}}(BF^{\spadesuit}_{1,\chi})$의 비영성은 오일러 시스템의 비자명성을 암시한다.
• 논문은 해석적 이와사와 메인 추측에서의 약분 관계를 증명한다: $\text{char}_H(e\omega_j eH^2_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}, V, D_\lambda^\chi)) \mid \text{char}_H(e\omega_j coker(\text{Col}^\clubsuit)) \cdot e\omega_j L_p^{\text{geom}}(\text{Sym}^2 f_\lambda \otimes \chi^{-1})$ 는 $H$의 이상수로서 성립한다.