[논문 리뷰] Jacob's ladders and the asymptotic formula for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral of the function $|\zeta(1/2+it)|^4$

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 제타 함수의 행동에서 유도된 기하학적 구조인 두 번째 차수의 자바스 러버(ϕ₂(T))를 사용하여, |ζ(1/2 + it)|⁴의 하디-리틀우드 적분의 짧고 미세한 구간에 대한 새로운 점점 더 큰 수식을 제안한다. 자바스 러버 곡선 ϕ₂(T) 위의 끈의 각도를 분석함으로써, 발마수브라마니안, 히프트브라운, 이비치의 기존 방법을 뛰어넘는 새로운 점점 더 큰 표현식을 도출한다. 특히 U ≤ T¹³/¹⁴⁺²ǫ 인 간격에 대해 성립한다.

ABSTRACT

The elementary geometric properties of Jacob's ladders of the second order lead to a class of new asymptotic formulae for short and microscopic parts of the Hardy-Littlewood integral of $|\zeta(1/2+it)|^4$. These formulae cannot be obtained by methods of Balasubramanian, Heath-Brown and Ivic.

연구 동기 및 목표

• 하드리-리틀우드 적분 ∫|ζ(1/2+it)|⁴dt의 짧고 미세한 구간에 대한 새로운 점점 더 큰 수식을 유도하는 것.
• 기존 방법(예: 발마수브라마니안, 히프트브라운, 이비치)이 제타 함수의 네 번째 모멘트의 소규모 행동을 분석하는 데 가지는 한계를 극복하는 것.
• 제타 함수의 점점 더 큰 행동과 두 번째 차수의 자바스 러버의 곡률 성질 사이의 기하학적 연결을 설정하는 것.
• 짧은 간격과 제타 함수의 영점 근처에서 |ζ(1/2+it)|⁴ 값의 분포를 이해하기 위한 새로운 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 제타 함수의 네 번째 모멘트의 누적 분포의 역함수로 정의된 두 번째 차수의 자바스 러버 ϕ₂(T)를 사용한다.
• U₀ = T¹³/⁴⁺²ǫ 인 간격 [T, T+U₀]에서 항등식 Z⁴(t) = (1/(2π²)) · (1 + O((ln ln T)² / ln T)) · ln⁴T · dϕ₂(t)/dt 를 적용한다.
• ϕ₂(T) 곡선 위에서 (T, ϕ₂(T))와 (T+U, ϕ₂(T+U))를 연결하는 끈의 각도 α₂(T,U)를 도입하여 점점 더 큰 행동을 매개변수화한다.
• tan[α₂(N,M−N)] = 1 + o(1) 유효한 ' praticularly 평행한 끈'을 정의하여, 여기서 |ζ|⁴의 평균이 점점 더 큰 상수임을 나타낸다.
• ζ(1/2+iT)의 영점 γ 근처의 미세한 영역을 분석하기 위해 ϕ₂(T)의 변곡점 ρ 와 (γ,ϕ₂(γ))에서 (ρ,ϕ₂(ρ))로 향하는 끈의 각도 β(γ,ρ)를 연구한다.
• U < ρ−γ 또는 U < ḡ−γ 인 경우에 대해 tan(α) 및 tan(β) 를 적분 표현식의 스케일링 인자로 사용하여 점점 더 큰 수식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 해석적 방법의 범위를 넘어서, ∫|ζ(1/2+it)|⁴dt의 짧고 미세한 부분에 대한 점점 더 큰 수식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 두 번째 차수의 자바스 러버 ϕ₂(T)의 기하학적 성질은 |ζ(1/2+it)|⁴의 짧은 간격 내 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 ϕ₂(T) 곡선 위의 끈의 각도는 길이 U 의 간격에서 |ζ|⁴ 의 점점 더 큰 평균을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 ζ(1/2+iT)의 영점 근처에서 제타 함수의 행동은 ϕ₂(T) 의 기하학적 특성으로 포괄될 수 있는가?
• RQ5 |ζ|⁴ 의 평균이 점점 더 큰 상수로 ln⁴T 비례하는 연속적인 간격의 가족이 존재하는가?

주요 결과

• 짧은 간격에 대한 점점 더 큰 수식은 ∫ₜ⁺ᵘₜ |ζ(1/2+it)|⁴ dt = (1/(2π²)) · (1 + O((ln ln T)² / ln T)) · U ln⁴T · tan[α₂(T,U)] 이며, U ≤ T¹³/¹⁴⁺²ǫ 인 경우에 유효하다.
• ϕ₂(T) 위의 끈이 기본 끈에 거의 평행한 경우, [M,N] ⊂ [T,T+U₀] 인 간격에서 |ζ(1/2+it)|⁴ 의 평균은 점점 더 큰 (1/(2π²)) ln⁴T 임을 나타낸다.
• M−N < 1 인 연속적인 간격 [M,N] 이 존재하여 ∫ₘₙ |ζ|⁴ dt ∼ (1/(2π²)) (M−N) ln⁴T 를 만족하며, 이는 제타 함수의 네 번째 모멘트의 국소적 등분포를 의미한다.
• 제타 함수의 영점 γ 근처에서, 미세한 간격 [γ,γ+U] 는 ∫ₜ⁺ᵘₜ |ζ|⁴ dt ∼ (tan α)/(2π²) U ln⁴γ 의 점점 더 큰 수식을 지닌다. 여기서 tan α ∈ (0, β(γ,ρ)) 이고 U < ρ−γ 이다.
• γ 근처의 간격에서 길이 U ≤ ḡ−γ 이며, ḡ = γ + γ¹³/¹⁴⁺²ǫ + ∆(γ) 이면, 끈이 기본 끈에 평행한 경우 ∫ₘₙ |ζ|⁴ dt ∼ (1/(2π²)) (M−N) ln⁴γ 이다.
• 모든 유도된 수식, (4.4) 및 (4.5 포함) 는 발마수브라마니안, 히프트브라운, 이비치의 방법으로는 증명 불가능하며, 명시적으로 비고 7 에서 언급되어 있다.