[논문 리뷰] Jacob's ladders, Riemann's oscillators, quotient of two oscillating multiforms and set of metamorphoses of this system

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 임계선 ℑ(s) = 1/2에서 리만-지젤 공식을 바탕으로 한 두 다형함수의 몫으로 정의된 새로운 진동 시스템인 Q-시스템을 제안한다. 이 시스템은 임계선에서의 진동 행동과 절대수렴 영역 ℜ(s) > 1 내의 멜리우스 함수에 대한 무한한 변형을 증명함으로써 깊은 연결을 수립한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce complicated oscillating system, namely quotient of two multiforms based on Riemann-Siegel formula. We prove that there is an infinite set of metamorphoses of this system (=chrysalis) on critical line $σ=\frac 12$ into a butterfly (=infinite series of M\" obius functions in the region of absolute convergence $σ>1$).

연구 동기 및 목표

• 임계선 ℑ(s) = 1/2에서 리만-지젤 공식에 기반한 진동 시스템의 구조적 변형을 조사한다.
• Z(t) = e^{iϑ(t)}ζ(1/2 + it)를 바탕으로 한 두 다형함수의 몫으로서 새로운 시스템인 Q-시스템을 정의한다.
• Q-시스템이 임계선에서부터 절대수렴 영역 ℜ(s) > 1 내의 무한한 멜리우스 함수 급수로 변형되는 무한한 집합을 확립한다.
• 개미자기(Chrysalis, 임계선 ℑ(s)=1/2에서의 진동 다형함수)에서 나비(ℜ(s)>1 영역의 멜리우스 급수)로의 전이를 지배하는 제어 매개변수 α₀(T), ..., αₖ(T)를 규명한다.

제안 방법

• Q-시스템은 G(x₁,…,xₖ;y₁,…,yₖ) = ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(xᵣ)/Z(yᵣ)|로 정의되며, 여기서 Z(t)는 리만-지젤 Z-함수이다.
• 이 방법은 리만-지젤의 점근 전개를 사용한다: Z(t) = 2∑ₙ≤τ(t) n⁻¹ᐟ² cos(ϑ(t)−t ln n) + O(t⁻¹ᐟ⁴), 여기서 τ(t) = √(t/(2π))이다.
• 제어 매개변수 αᵣ(T), βᵣ(T)는 자코브의 계단의 반복적 역함수 φ₁ᵏ(t)를 통해 구성되며, 이는 dφ₁/dt = Z²(t)/(2ω(t))를 만족하는 해로서 ω(t) ∼ ln t이다.
• 분석은 반복된 간격 [T, T+U] 및 그들의 φ₁ᵏ에 의한 상(images)에 대한 적분에 평균값 정리를 적용함에 기반한다. 여기서 U = ln ln T + Θ ln T, Θ ∈ [0,1]이다.
• 변환은 점근적 동치성에 의해 검증되며: ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ) |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}| as T → ∞이다.
• 핵심 기술적 단계는 ω(t)의 점근적 행동과 자코브의 계단 구조를 이용하여 Z²(αᵣ)와 Z²(βᵣ)의 곱을 비율 (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT로 연결하는 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-지젤 공식에 기반한 두 다형함수의 몫은 임계선 ℑ(s) = 1/2에서 절대수렴 영역 ℜ(s) > 1으로의 구조적 변형을 겪을 수 있는가?
• RQ2 Q-시스템이 진동 다형함수에서 멜리우스 급수로의 전이를 지배하는 제어 매개변수는 무엇인가?
• RQ3 무한한 수의 이러한 변형이 존재하는가? 만약 그렇다면, T와 Θ에 대해 어떻게 매개변수화되는가?
• RQ4 반복적 역함수 φ₁ᵏ(t)와 자코브의 계단 구조는 점근적 동치성을 멜리우스 급수로 이끌어내는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 Z-값의 곱과 절대수렴 영역 ℜ(s) > 1 내의 멜리우스 함수의 디리클레 급수 사이의 정량적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 임계선에서 정의된 Q-시스템은 절대수렴 영역 ℜ(s) > 1 내의 무한급수 |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}|로 무한한 수의 변형을 겪는다.
• T → ∞일 때 점근적 동치성 ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ) |∑ₙ₌₁^∞ μ(n)/n^{σ+iα₀}| 가 성립하며, 여기서 αᵣ와 βᵣ는 자코브의 계단의 반복적 역함수를 통해 정의된다.
• 제어 매개변수 α₀(T), ..., αₖ(T)와 β₁(T), ..., βₖ(T)는 T < α₀ < α₁ < ... < αₖ 및 T < β₁ < ... < βₖ를 만족하여 전이 과정에서 순서가 유지됨을 보장한다.
• 곱 ∏ᵣ₌₁ᵏ Z²(αᵣ) ∼ ζ(2σ) (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT / |ζ(σ + iα₀)|² 는 진동 행동과 임계대역 내의 제타 함수 사이의 연결을 보여준다.
• 곱 ∏ᵣ₌₁ᵏ Z²(βᵣ) ∼ (U / (T̂ₖ₊ᵤ − Tₖ)) lnᵏT 이며, 이는 βᵣ 값들이 점근적 균형을 유지하도록 분포되어 있음을 보여준다.
• 변환은 반복 간격에 대한 적분에 평균값 정리를 적용함으로써 지배되며, U = ln ln T + Θ ln T 이므로 최종 분해 공식 ∏ᵣ₌₁ᵏ |Z(αᵣ)/Z(βᵣ)| ∼ √ζ(2σ)/|ζ(σ + iα₀|) 가 유도된다.