[논문 리뷰] Jet bundles on projective space II

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수적 군 이론, 일반화된 베르마 모듈러, 최고 가중치 벡터의 소거 아이디얼을 사용하여 그라스만만에서의 잔여층의 표준 필터레이션을 연구한다. 이는 프로젝티브 공간에서의 잔여층의 구조를 P-모듈러로 회복하고, 그라스만만에서의 잔여층의 분할 유형과 일阶 잔여층의 구조에 대한 명시적 공식을 유도한다.

ABSTRACT

Let G=SL(E) be the special linear algebraic group on E where E is a finite dimensional vector space over a field K of characteristic zero. In this paper we study the canonical filtration of the dual G-module of global sections of a G-linearized invertible sheaf L on the grassmannian G/P where P in G is the parabolic subgroup stabilizing a subspace W in E. We classify the canonical filtration as P-module and as a consequence we recover known formulas on the P-module structure of the jet bundle J(L) on projective space. We study the incidence complex for the invertible sheaf O(d) on the projective line and prove it gives a resolution of the incidence scheme I(O(d)) of O(d). The aim of this study is to apply it to the study of resolutions of ideal sheaves of discriminants of invertible sheaves on grassmannians and flag varieties. We also give an elementary proof of the Cauchy formula. Hence the paper introduce the canonical filtration of an arbitrary irreducible SL(E)-module and initiates a study of the canonical filtration as P-module where P in SL(E) is a parabolic subgroup.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ d \geq 1 $ 에 대해 $ X = \mathbb{G}(m,m+n) $ 인 그라스만만에서의 일阶 잔여층 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ 의 $ P $-모듈러 구조를 분류하는 것.
• 표준 필터레이션을 통해 프로젝티브 공간에서의 잔여층의 분할 유형에 대한 기존 공식을 추론하는 것.
• 프로젝티브 직선에서 $\mathcal{O}(d)$ 의 인cidense 복합체를 연구하고, $ I^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 이상층을 해결하는 것이 증명되는 것.
• 그라스만만에서 선다발 $\mathcal{O}(d)$ 에 대해 $ P $-모듈러로서의 표준 필터레이션 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d $ 의 일반적 연구를 시작하는 것.
• 결과를 프로젝티브 공간과 그라스만만에서 선형 계의 판별식의 심보이에 적용하는 것.

제안 방법

• 대수적 군 이론, 층 이론, 일반화된 베르마 모듈러를 사용하여 $ X = \mathbb{G}(m,m+n) $ 인 $ \mathrm{SL}(V) $-모듈러 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ 의 표준 필터레이션 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d $ 을 분석하는 것.
• 이전 연구에서의 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d $ 결과를 응용하여 잔여층의 섬유 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))(x)^*$ 의 $ P $-모듈러 구조를 분류하는 것.
• 특히 $ X = \mathbb{P}^n $ 인 경우에 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$ 이라는 동형사상을 사용하여 기존의 분할 유형 공식을 회복하는 것.
• 인cidense 복합체 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y $ 을 구성하고, 이가 $ I^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 이상층의 국소 자유 해상이 되는 것을 증명하는 것.
• 코즐 복합체와 잔여층의 성질을 이용하여 인cidense 복합체의 해상 성질을 확립하는 것.
• 카우치 공식을 적용하고 $\mathrm{SL}(V)$-모듈러의 자기동형사를 연구하여 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W)) $ 내의 최고 가중치 벡터를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그라스만만 $ X = \mathbb{G}(m,m+n) $ 에서의 일阶 잔여층 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ 의 $ P $-모듈러 구조는 무엇인가?
• RQ2 일반화된 베르마 모듈러와 소거 아이디얼을 사용하여 $ \mathrm{SL}(V) $-모듈러 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ 의 표준 필터레이션 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d $ 은 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ3 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^n $ 에서의 잔여층 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 분할 유형은 추상적인 국소 자유 층으로서 무엇인가?
• RQ4 인cidense 복합체 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y $ 은 인cidense 스킴 $ I^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 이상층의 해상인가?
• RQ5 $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n) $-모듈러로서 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W)) $ 내의 최고 가중치 벡터는 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ d \geq 1 $ 에 대해 $ X = \mathbb{G}(m,m+n) $ 에서의 일阶 잔여층 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d)) $ 의 $ P $-모듈러 구조가 완전히 분류되었다.
• $ X = \mathbb{P}^n $ 인 경우에 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$ 이라는 동형사상이 $ P $-모듈러로서 성립하여, 잔여층의 섬유 구조가 회복된다.
• 표준 필터레이션 접근을 통해 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^n $ 에서의 잔여층 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 분할 유형이 기존의 알려진 공식으로 복원되었다.
• 인cidense 복합체 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y $ 이 $ I^l(\mathcal{O}(d)) $ 의 이상층의 국소 자유 해상임이 증명되었다.
• $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n) $-모듈러 $\mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V/W)) $ 에서의 $ i $-번째 행렬식 $|x_i| \in \mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V/W)) $ 는 특성 $\lambda(g) = \frac{b_1 \cdots b_i}{a_{m-i+1} \cdots a_m}$ 를 가진 최고 가중치 벡터로 증명되었다.
• [2]의 결과와 카우치 공식을 통해 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W)) $ 내의 모든 최고 가중치 벡터가 $ x_0^{d_0} x_1^{d_1} \cdots x_i^{d_i} $ 의 형태이며, $\sum i d_i = k$ 를 만족함을 보였다.