[논문 리뷰] Joint Limiting Distribution of Minima and Maxima of Complete and Incomplete Samples of Stationary Sequences

Enkelejd Hashorva, Zhichao Weng|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 24.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정 stationarity의 시계열에서 완전한 및 불완전한 표본의 최대값과 최소값의 동시 약한 수렴을 확립하며, 관측된 자료 비율이 확률적으로 랜덤 변수로 수렴하는 경우로 이전 결과를 확장한다. 주요 발견은 최대값과 최소값 간의 점근적 독립성은 관측 불완전성 비율이 결정론적일 때만 성립하며, 否면 랜덤 샘플링 불확실성으로 인해 의존성이 발생한다는 것이다.

ABSTRACT

In the seminal contribution [4] the joint weak convergence of maxima and minima of weakly dependent stationary sequences is derived under some mild asymptotic conditions. In this paper we address additionally the case of incomplete samples assuming that the average proportion of incompleteness converges in probability to some random variable. We show the joint weak convergence of the maxima and minima of both complete and incomplete samples. It turns out that for special cases, maxima and minima are asymptotically independent.

연구 동기 및 목표

• 정 stationarity의 시계열에서 불완전 표본의 최대값과 최소값의 동시 약한 수렴 이론을 확장하기 위해.
• 관측된 자료 비율이 비퇴화적인 랜덤 변수로 수렴하는 경우, 즉 랜덤 불완전성의 영향을 고려하여 점근적 동시 분포에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 불완전성 조건이 존재하더라도 최대값과 최소값이 점근적으로 독립일 수 있는 조건을 규명하기 위해.
• 이전 연구에서 관측 비율이 결정론적이라고 가정한 불완전 표본 결과를 더 현실적인 랜덤 불완전성의 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 Davis(1987)의 Berman 조건 및 약한 의존성 조건(D 및 D')을 사용하여 정 stationarity의 시계열에서 극단값 의존성을 제어한다.
• 최대값과 최소값에 대해 각각 $ a_n, b_n $ 및 $ c_n, d_n $ 시퀀스를 정규화하여 일반화된 극단값 분포 극한에 맞춘다.
• 표본 불완전성은 indicator 변수 $ \varepsilon_i $ 를 통해 모델링되며, $ S_n/n \to \mathcal{P} $ in probability 이며, 여기서 $ \mathcal{P} $ 는 랜덤 변수이다.
• 핵심 기술적 단계로는 표본을 블록으로 나누고, 최대값과 최소값의 동시 꼬리 확률를 제어하기 위해 포아송 근사법을 사용한다.
• 증명은 Ky Fan 거리와 농도 불등식을 활용하여 관측 값 비율의 경험적 분포에서의 편차를 제어한다.
• 점근적 동시 분포는 랜덤 비율 $ \mathcal{P} $ 에 대한 기대값으로 유도되며, 최대값에 대해 $ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $ 와 유사한 형태로 표현된다. 최소값에 대해서도 유사한 형태이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정 stationarity의 시계열에서 불완전 표본의 최대값과 최소값의 동시 점근 분포가 약한 수렴을 보이는 조건은 무엇인가?
• RQ2 관측된 자료 비율이 비퇴화적인 랜덤 변수일 경우, 최대값과 최소값 간의 점근적 의존성은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 최대값과 최소값의 동시 극한 분포를 랜덤 불완전성 비율 $ \mathcal{P} $ 에 대한 기대값으로 표현할 수 있는가? 이는 이전의 결정론적 $ \mathcal{P} $ 의 결과를 일반화하는가?
• RQ4 불완전성이 랜덤할 경우 최대값과 최소값 간의 점근적 독립성은 유지되는가, 아니면 붕괴되는가?
• RQ5 랜덤 불완전성이 정 stationarity의 시계열에서의 동시 극단 행동에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 약한 의존성과 랜덤 불완전성 조건 하에서, 완전한 및 불완전한 표본의 정규화된 최대값과 최소값의 동시 점근 분포가 약한 수렴을 한다.
• 불완전성 비율 $ \mathcal{P} $ 가 결정론적 상수일 경우, 최대값과 최소값은 점근적으로 독립적이다.
• 만약 $ \mathcal{P} $ 가 비퇴화적인 랜덤 변수일 경우, 최대값과 최소값 간의 점근적 독립성은 성립하지 않으며, 그들의 동시 분포는 $ \mathcal{P} $ 의 분포에 의존한다.
• 점근적 동시 분포는 최대값에 대해 $ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $ 와 유사한 형태로 표현되며, 이는 표본 추출 과정의 랜덤성을 반영한다.
• 증명 과정은 블록 분할, 포아송 근사, Ky Fan 거리 제어를 통해 이루어지며, 오차 범위는 표본 크기가 증가함에 따라 사라진다.
• 이 결과는 [6] 및 [9]의 이전 연구를 일반화하며, 이들은 $ \mathcal{P} $ 가 결정론적이라고 가정했지만, 본 논문은 $ \mathcal{P} $ 가 랜덤인 경우를 다루어 더 현실적인 불완전 데이터 모델을 제공한다.