[논문 리뷰] Joint Mean and Covariance Estimation with Unreplicated Matrix-Variate Data

Michael Hornstein, Roger Fan외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 13.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 최소제곱법과 펜라티드 공분산 추정을 사용하여 복제가 없는 행렬 변수 자료에서 평균 및 공분산 구조를 동시 추정하는 방법을 제안한다. 이 방법은 평균 매개수와 상관관계 구조를 일관되게 추정하여 유전체 데이터에서 차등 발현 분석의 校정 및 검정력 향상에 기여한다.

ABSTRACT

It has been proposed that complex populations, such as those that arise in genomics studies, may exhibit dependencies among observations as well as among variables. This gives rise to the challenging problem of analyzing unreplicated high-dimensional data with unknown mean and dependence structures. Matrix-variate approaches that impose various forms of (inverse) covariance sparsity allow flexible dependence structures to be estimated, but cannot directly be applied when the mean and covariance matrices are estimated jointly. We present a practical method utilizing generalized least squares and penalized (inverse) covariance estimation to address this challenge. We establish consistency and obtain rates of convergence for estimating the mean parameters and covariance matrices. The advantages of our approaches are: (i) dependence graphs and covariance structures can be estimated in the presence of unknown mean structure, (ii) the mean structure becomes more efficiently estimated when accounting for the dependence structure among observations; and (iii) inferences about the mean parameters become correctly calibrated. We use simulation studies and analysis of genomic data from a twin study of ulcerative colitis to illustrate the statistical convergence and the performance of our methods in practical settings. Several lines of evidence show that the test statistics for differential gene expression produced by our methods are correctly calibrated and improve power over conventional methods. Supplementary materials for this article are available online.

연구 동기 및 목표

• 관측치와 변수들이 복잡한 의존성을 보이는 고차원적, 복제가 없는 행렬 변수 자료에서 평균 및 공분산 구조를 추정하는 문제에 대응한다.
• 복제가 없는 상황에서 평균과 공분산을 동시에 추정할 수 없는 기존 방법의 한계를 극복한다.
• 예상치 못한 표본별 상관관계를 고려함으로써 차등 발현 분석을 위한 통계적 검정의 校정 및 검정력을 향상시킨다.
• 일반화된 최소제곱법과 임계치 처리를 활용하여 평균과 공분산 추정을 번갈아 가며 수행하는 실용적인 반복 알고리즘을 개발한다.
• 의존성 구조를 고려함으로써 보다 잘 校정된 검정 통계량을 얻고, 후행 조정 기법(예: 게놈 제어)의 필요성을 줄일 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 관측치 간의 알려지지 않은 공분산 구조를 고려하여 일반화된 최소제곱법(GSL)을 사용해 평균 매개수를 추정한다.
• 임계치 처리를 통해 희박성을 확보함과 동시에 관측치와 변수 간의 의존성을 동시에 모델링하기 위해 펜라티드(역)공분산 추정을 적용한다.
• 작업용 공분산 행렬 하에 평균을 추정하고 잔차를 이용해 공분산 추정치를 갱신하는 방식으로 반복적으로 평균과 공분산 추정을 번갈아 수행한다.
• 공분산과 평균을 동시 추정한 후, Wald 유형 통계량을 활용해 평균 매개수에 대한 추론을 수행한다.
• 주어진 자료의 두 방향(행 및 열)에 대한 의존성 구조를 모델링하기 위해 Zhou 등(2014)의 이원공분산 추정 기법을 기초로 한다.
• 표본별 공분산에 있는 전체 의존성 구조 $A$ 를 고려한 수정된 스퍼링(procedure)을 구현하여 검정 통계량의 校정을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알 수 없는 의존성 구조를 가진 복제가 없는 행렬 변수 자료에서 평균과 공분산의 동시 추정이 일관되게 이루어질 수 있는가?
• RQ2 표본별 상관관계를 고려함으로써 차등 발현 분석에서 검정 통계량의 校정은 어떻게 향상되는가?
• RQ3 관측치와 변수의 의존성을 동시에 모델링할 경우 통계적 검정력과 FDR 제어에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 GLS 기반 방법은 스퍼링 및 혼란요인 조정 기법과 같은 기존 접근법에 비해 감도 및 특이도 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 고차원 유전체 연구에서 후행 조정 기법(예: 게놈 제어)의 필요성을 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 정규성 조건 하에서 제안된 방법은 평균 매개수와 공분산 행렬 모두에 대해 일관된 추정을 달성한다.
• 시뮬레이션 연구 결과, GLS 기반 방법은 진정한 평균 차이를 탐지하는 데 있어 감도 및 특이도 측면에서 스퍼링 및 혼란요인 조정 방법보다 일관되게 뛰어나다.
• 비항등 공분산 구조(예: AR1 또는 블록 구조)가 존재하는 설정에서는 기존 접근법에 비해 검정 통계량의 校정이 크게 향상된다.
• 실제 우육성 대장염 데이터에서, 이 방법은 CATE보다 더 넓은 분포와 더 잘 校정된 검정 통계량을 생성하며, 검정 통계량 상 상관관계는 0.75이지만 FDR < 0.1 기준으로 겹치는 유전자 수는 단 한 개(DPP10-AS1)에 그친다.
• 의도치 않은 표본별 상관관계를 내재적으로 고려함으로써 게놈 제어와 같은 후행 조정 조치에 대한 의존도를 줄인다.
• AR1, 스타-블록, Erdős-Rényi 무작위 그래프 모델을 포함한 다양한 의존성 구조에 대해 알고리즘이 강건한 성능을 보였다.