[논문 리뷰] Joint scaling limit of site percolation on random triangulations in the metric and peanosphere sense

Ewain Gwynne, Nina Holden외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 삼각분할에 임계 사이트 퍼콜레이션을 장식한 경우, 메트릭 및 페노스피어 맥락에서 $√{8/3}$-리만 양자 중력(LQG)에 SLE$_6$가 장식된 경우로의 첫 번째 동시 수렴을 확립한다. 메트릭과 트리 기반 인코딩의 커플링을 사용하여, 저자들은 전체 퍼콜레이션 인터페이스 집합이 곰로프–하우스도르프–프로코르프–유니폼(GHPU) 위상에서 CLE$_6$로 수렴함을 증명하였으며, 관련된 랜덤 워크 인코딩은 상관된 브라운 운동으로 수렴함을 확인하여, 두 스케일링 극한에서의 동시 수렴을 입증한다.

ABSTRACT

Recent works have shown that random triangulations decorated by critical ($p=1/2$) Bernoulli site percolation converge in the scaling limit to a $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity (LQG) surface (equivalently, a Brownian surface) decorated by SLE$_6$ in two different ways: 1. The triangulation, viewed as a curve-decorated metric measure space equipped with its graph distance, the counting measure on vertices, and a single percolation interface converges with respect to a version of the Gromov-Hausdorff topology. 2. There is a bijective encoding of the site-percolated triangulation by means of a two-dimensional random walk, and this walk converges to the correlated two-dimensional Brownian motion which encodes SLE$_6$-decorated $\sqrt{8/3}$-LQG via the mating-of-trees theorem of Duplantier-Miller-Sheffield (2014); this is sometimes called $ extit{peanosphere convergence}$. We prove that one in fact has $ extit{joint}$ convergence in both of these two senses simultaneously. We also improve the metric convergence result by showing that the map decorated by the full collection of percolation interfaces (rather than just a single interface) converges to $\sqrt{8/3}$-LQG decorated by CLE$_6$ in the metric space sense. This is the first work to prove simultaneous convergence of any random planar map model in the metric and peanosphere senses. Moreover, this work is an important step in an ongoing program to prove that random triangulations embedded into $\mathbb C$ via the so-called $ extit{Cardy embedding}$ converge to $\sqrt{8/3}$-LQG.

연구 동기 및 목표

• 임의의 삼각분할에 임계 사이트 퍼콜레이션을 장식한 경우, 메트릭 및 페노스피어 맥락에서 동시에 수렴하는 것을 확립하는 것.
• 단일 퍼콜레이션 인터페이스의 수렴에서 메트릭 수렴을 전체 인터페이스 집합으로 확장하여, CLE$_6$-장식된 $\sqrt{8/3}$-LQG로의 수렴을 보여주는 것.
• 랜덤 삼각분할의 카디 임bedding이 연속체에서의 conformal 임베딩으로 수렴하는 것을 증명하기 위한 기초 단계를 마련하는 것.
• 합동 스케일링 극한이 기하학적(메트릭) 및 조합적(트리 인코딩) 구조를 동시에 포괄함을 보여주는 것.

제안 방법

• 메트릭과 트리 기반 인코딩의 커플링을 활용하여, 곰로프–하우스도르프–프로코르프–유니폼(GHPU) 위상과 페노스피어 수렴을 동시에 제어한다.
• 매칭-오브-트리 비준거를 사용하여 사이트-퍼콜레이션 삼각분할을 이차원 랜덤 워크로 인코딩하고, 이는 상관된 브라운 운동으로 수렴함을 보인다.
• 곰로프–하우스도르프–프로코르프–유니폼(GHPU) 위상을 적용하여 곡선 장식이 있는 메트릭 측도 공간의 수렴을 보여준다.
• 샤우퍼 비준거 및 그 일반화를 사용하여 그래프 거리와 트리 레이블 간의 관계를 설정하고, 메트릭 구조를 제어할 수 있도록 한다.
• 두드란티에-밀러-쉬프트 매칭-오브-트리 정리를 적용하여 랜덤 워크 인코딩을 SLE$_6$-장식된 $\sqrt{8/3}$-LQG와 연결한다.
• 재루팅 불변성과 루프 집합 기법을 사용하여 다수의 공간 채우는 탐색을 커플링하고, 교차 사건들의 동시 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 사이트 퍼콜레이션을 장식한 임의의 삼각분할이 $√{8/3}$-LQG와 SLE$_6$로 동시에 메트릭 및 페노스피어 맥락에서 수렴할 수 있는가?
• RQ2 전체 퍼콜레이션 인터페이스 집합이 단일 인터페이스가 아닌 메트릭 공간 맥락에서 CLE$_6$로 수렴하는가?
• RQ3 다양한 루트 엣지에서 시작하는 다수의 공간 채우는 탐색이 스케일링 극한에서 동시에 커플링될 수 있는가? 이때 기하학적 및 확률적 구조가 유지되는가?
• RQ4 랜덤 워크 인코딩의 수렴이 기하학적 및 곡선 장식이 있는 메트릭 구조의 수렴과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 합동 수렴을 활용하여 카디 임베딩이 연속체에서의 conformal 임베딩으로 수렴함을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 메트릭 및 페노스피어 맥락에서 어떤 임의의 평면 맵 모델에 대해서도 첫 번째 동시 수렴을 확립한다.
• 전체 퍼콜레이션 인터페이스 집합이 GHPU 위상에서 CLE$_6$-장식된 $√{8/3}$-LQG로 수렴함을 보여주며, 이는 이전 연구에서 단일 인터페이스만 고려한 결과를 확장한 것이다.
• 퍼콜레이션된 삼각분할의 랜덤 워크 인코딩이 상관된 이차원 브라운 운동으로 수렴함을 확인하여, 페노스피어 수렴을 입증한다.
• 다양한 루트 엣지에서 시작하는 다수의 공간 채우는 탐색의 합동 수렴이 증명되었으며, 이는 교차 사건이 그 연속체 대응물로 수렴함을 가능하게 한다.
• 카디 임베딩이 연속체에서의 conformal 임베딩으로 수렴함이 [HS19]에서 입증되었으며, 여기서 증명된 합동 스케일링 극한을 기반으로 한다.
• 메트릭과 인코딩 과정의 커플링은 연속체 극한에서 기하학적 및 조합적 구조가 모두 유지됨을 보장한다.