[논문 리뷰] Joint temporal and contemporaneous aggregation of random-coefficient AR(1) processes with infinite variance

Pilipauskaitė, Vytautė, Skorniakov, Viktor외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 16.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 0 < α ≤ 2인 α-안정 분포의 정규 첨도 영역 내에서 무한분산 잔여항을 가진 N개의 독립적인 랜덤 계수 AR(1) 과정의 시간적 및 동시적 집계를 연구한다. N과 시간 스케일 n이 서로 다른 비율로 무한대에 접근할 때, 집계 과정의 점근적 행동은 랜덤 계수의 꼬리 지수 β와 N 및 n의 상대적 성장률에 따라 달라지며, α-안정, (αβ)-안정, β-안정, 복합 포isson형 근사 분포를 포함한 다양한 안정 및 비안정 근사 분포를 도출한다. 이는 이전의 유한분산 결과를 α < 2인 무한분산 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of random-coefficient AR(1) process driven by i.i.d. innovations in the domain of normal attraction of an $\alpha$-stable distribution, $0< \alpha \le 2$, as both $N$ and the time scale $n$ tend to infinity, possibly at a different rate. Assuming that the tail distribution function of the random autoregressive coefficient regularly varies at the unit root with exponent $\beta > 0$, we show that, for $\beta < \max (\alpha, 1)$, the joint aggregate displays a variety of stable and non-stable limit behaviors with stability index depending on $\alpha$, $\beta$ and the mutual increase rate of $N$ and $n$. The paper extends the results of Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from $\alpha = 2$ to $0 < \alpha < 2$.

연구 동기 및 목표

• 시간적 및 동시적 집계된 무한분산 잔여항을 가진 랜덤 계수 AR(1) 과정의 공동 점근적 행동을 연구한다.
• 이전의 유한분산 RCAR(1) 패널 결과(예: Pilipauskaitė & Surgailis, 2014)를 α < 2인 무한분산 설정으로 확장한다.
• N(과정 수)와 n(시간 영역)의 상호 성장률에 따라 발생하는 전체 범위의 근사 분포—안정 및 비안정—를 특성화한다.
• 정규화된 집계 S_N,n(τ)에 대한 극한 정리들을 α-안정, β-안정, (αβ)-안정, 포아송 혼합 안정 과정을 통해 수립한다.

제안 방법

• 랜덤 계수 AR(1) 과정을 X(t) = aX(t−1) + ε(t)로 모델링하며, a ∈ [0,1)은 x=1 근처에서 φ(x) ∼ ψ₁(1−x)β−1와 같이 밀도를 가지며, {ε(t)}는 0 < α ≤ 2인 i.i.d. α-안정 잔여항이다.
• N, n → ∞일 때 서로 다른 비율로 수렴하는 공동 극한 하에서, 공동 집계 S_N,n(τ) = Σᵢ₌₁ᴺ Σₜ₌₁^[nτ] X_i(t)를 분석한다.
• 유한차원 분포의 약한 수렴을 이용하고 특성함수 분석 및 확률적 적분 표현을 통해 근사 분포를 도출한다.
• Dambis–Dubins–Schwarz 정리와 포아송 랜덤 측도 기법을 적용하여 근사 과정을 α-안정 랜덤 측도에 대한 확률적 적분으로 표현한다.
• 스케일링 및 조건부 기대값을 이용한 추론을 통해 반복 극한을 도출하고 이를 공동 극한으로 연결하며, β 및 N/n 비율에 따라 구분되는 서로 다른 영역을 규명한다.
• S_N,n(τ)의 유한차원 분포 수렴(fdd)을 α-안정, (αβ)-안정, β-안정 또는 복합 포아송형 근사 분포로 수립하며, 이는 α, β 및 N와 n의 상호 성장률에 의해 정의된 매개변수 영역에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N과 시간 스케일 n이 서로 다른 비율로 무한대에 접근할 때, 무한분산 잔여항을 가진 N개의 독립적 RCAR(1) 과정의 공동 집계의 근사 분포는 무엇인가?
• RQ2 랜덤 자기상관 계수의 꼬리 지수 β는 근사 행동에 어떻게 영향을 미치며, 매개변수 공간 내에서의 서로 다른 영역은 무엇인가?
• RQ3 어떤 안정 및 비안정 근사 분포가 나타나며, 이는 N과 n의 상대적 성장률에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 이전의 유한분산 잔여항 결과(α = 2)는 어떻게 α < 2인 무한분산 설정으로 일반화되는가?
• RQ5 매개변수 μ = lim N¹/β / n이 근사 분포를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가. 특히 중간 영역에서의 경우는 어떠한가?

주요 결과

• β < max(α, 1)일 경우, 정규화된 집계의 근사 분포는 N과 n의 상호 성장률에 따라 결정되며, α-안정, (αβ)-안정, β-안정 또는 중간 포아송형 근사 분포로 나뉘는 서로 다른 영역을 형성한다.
• 1 ≤ β < α 이고 N¹/β / n → ∞일 경우 근사 분포는 α-안정이다. 0 < β < min(α, 1) 이고 N¹/β / n → ∞일 경우 근사 분포는 (αβ)-안정이다.
• 0 < β < α 이고 N¹/β / n → 0일 경우 근사 분포는 β-안정이며, 이는 α-안정과는 다른 무거운 꼬리 분포임을 나타낸다.
• N¹/β / n → μ ∈ (0, ∞)인 중간 영역에서는 복합 분포가 발생하며, 이를 '중간 포아송'이라 칭한다.
• α < β < 1일 경우, N¹/γβ / n → ∞ 이면 근사 분포는 (αβ)-안정, N¹/γβ / n → 0 이면 α-안정, N¹/γβ / n → μ ∈ (0, ∞) 이면 (αβ)-안정 및 α-안정 분포의 콘볼루션으로 나타난다. 여기서 γ = 1−α / 1−β 이다.
• β > max(α, 1)일 경우, N과 n의 성장률에 관계없이 근사 분포는 항상 α-안정이며, 이는 집계 과정이 E[(1−a)−α]¹/α로 스케일된 i.i.d. α-안정 잔여항의 합과 유사하게 행동하기 때문이다.