[논문 리뷰] Jordan Blocks of H^2(D^n)

Jaydeb Sarkar|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 05.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $n \geq 2$ 인 경우 $H^2(\mathbb{D}^n)$의 이중으로 가환하는 몫모듈러스와 코이중으로 가환하는 부분모듈러스를 완전히 특성화한다. 이는 이러한 몫모듈러스가 일변수 조르당 블록 $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$의 텐서곱으로 표현되며, 코이중으로 가환하는 부분모듈러스는 일변수 내부 함수로 생성된 주 이상수의 합으로 나타남을 보여주며, 비를링의 정리를 다변수 환경으로 일반화한다.

ABSTRACT

We develop a several variables analog of the Jordan blocks of the Hardy space $H^2(\mathbb{D})$. In this consideration, we obtain a complete characterization of the doubly commuting quotient modules of the Hardy module $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a quotient module $\clq$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ ($n \geq 2$) is doubly commuting if and only if \[\clq = \clq_{Θ_1} \otimes \cdots \otimes \clq_{Θ_n},\]where each $\clq_{Θ_i}$ is either a one variable Jordan block $H^2(\mathbb{D})/Θ_i H^2(\mathbb{D})$ for some inner function $Θ_i$ or the Hardy module $H^2(\mathbb{D})$ on the unit disk for all $i = 1, \ldots, n$. We say that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is a co-doubly commuting if the quotient module $H^2(\mathbb{D}^n)/\cls$ is doubly commuting. We obtain a Beurling like theorem for the class of co-doubly commuting submodules of $H^2(\mathbb{D}^n)$. We prove that a submodule $\cls$ of $H^2(\mathbb{D}^n)$ is co-doubly commuting if and only if \[\cls = \mathop{\sum}_{i=1}^m Θ_i H^2(\mathbb{D}^n),\]for some integer $m \leq n$ and one variable inner functions $\{Θ_i\}_{i=1}^m$.

연구 동기 및 목표

• $H^2(\mathbb{D})$의 일변수 하드리 스페이스에서의 조르당 블록 이론을 $n \geq 2$ 인 다변수 설정인 $H^2(\mathbb{D}^n)$으로 확장하기.
• 이중으로 가환하는 $H^2(\mathbb{D}^n)$의 모든 몫모듈러스를 일변수 조르당 블록의 텐서곱으로 특성화하기.
• $H^2(\mathbb{D}^n)$의 코이중으로 가환하는 부분모듈러스에 대한 비를링 유형의 정리를 수립하여, 그것들이 일변수 내부 함수로 생성된 주 이상수의 합임을 규명하기.
• 직교 프로젝션과 모듈러 승수 연산자를 이용한 이러한 모듈러스의 구조적 분해 제공하기.

제안 방법

• 논문은 $H^2(\mathbb{D}^n)$을 일련의 $n$중 힐버트 텐서곱 $H^2(\mathbb{D}) \otimes \cdots \otimes H^2(\mathbb{D})$로 동치시켜 주는 등급을 유지하는 유니터리 사상에 의해 식별한다.
• 이중으로 가환하는 몫모듈러스로서 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 내의 조르당 블록을 정의하며, 승수 연산자의 압축이 $i \neq j$ 일 때 $C_{z_i}C_{z_j}^* = C_{z_j}^*C_{z_i}$ 를 만족함을 조건으로 한다.
• 핵심 기법은 일변수 내부 함수에 관련된 랭크-일 프로젝션 $I - M_{\tilde{\Theta}_i}M_{\tilde{\Theta}_i}^*$ 의 곱을 이용해 몫모듈러스 위로의 직교 프로젝션을 분석하는 것이다.
• 증명은 $i \neq j$ 일 때 $M_{z_i}M_{z_j}^* = M_{z_j}^*M_{z_i}$ 라는 사실에 기반하며, 이는 이중으로 가환 조건을 보장한다.
• 레마 2.5를 적용하여 프로젝션 연산자의 범위를 $\tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$ 의 합과 연결함으로써 $\mathcal{Q}^\perp$ 의 특성화를 이끌어낸다.
• 몫모듈러스 $\mathcal{Q}$ 의 구조는 각 $\tilde{\Theta}_{i_j}$ 가 일변수 내부 함수일 때 $H^2(\mathbb{D}^n)/\sum_{j=1}^m \tilde{\Theta}_{i_j}H^2(\mathbb{D}^n)$ 로 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n \geq 2$ 인 경우 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 의 이중으로 가환하는 몫모듈러스의 완전한 구조는 무엇인가?
• RQ2 코이중으로 가환하는 부분모듈러스 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 는 비를링의 정리에 따라 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 일변수 조르당 블록의 텐서곱 분해는 다변수 조르당 블록을 특성화하기 위해 확장될 수 있는가?
• RQ4 이러한 모듈러스의 구조를 묘사하는 데 있어 직교 프로젝션의 역할은 무엇인가?
• RQ5 높은 차원에서 이중으로 가환 조건 하에서 모듈러 승수 연산자의 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• $H^2(\mathbb{D}^n)$ 의 몫모듈러스 $\mathcal{Q}$ 가 이중으로 가환하는 것은 $\mathcal{Q} = \mathcal{Q}_{\Theta_1} \otimes \cdots \otimes \mathcal{Q}_{\Theta_n}$ 로 분해되는 것과 동치이며, 여기서 각 $\mathcal{Q}_{\Theta_i}$ 는 일변수 조르당 블록 $H^2(\mathbb{D})/\Theta_i H^2(\mathbb{D})$ 이거나 $H^2(\mathbb{D})$ 자체이다.
• 모듈러스 $\mathcal{S}$ 가 $H^2(\mathbb{D}^n)$ 의 부분모듈러스이면서 코이중으로 가환하는 것은 $\mathcal{S} = \sum_{i=1}^m \Theta_i H^2(\mathbb{D}^n)$ 이며, 이는 $m \leq n$ 과 일변수 내부 함수 $\Theta_i$ 가 존재하는 것과 동치이다.
• 몫모듈러스 $\mathcal{Q}$ 위로의 직교 프로젝션은 $P_{\mathcal{Q}} = I - \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$ 로 주어지며, 여기서 $\tilde{\Theta}_{i_j}(\bm{z}) = \Theta_{i_j}(z_{i_j})$ 이다.
• 부분모듈러스 $\mathcal{Q}^\perp$ 위로의 직교 프로젝션은 $P_{\mathcal{Q}^\perp} = \prod_{j=1}^m (I - M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}M_{\tilde{\Theta}_{i_j}}^*)$ 로 주어지며, 이는 여집합의 구조를 확인한다.
• 결과는 이즈치, 나카지, 세토(2007)의 정리 3.1을 이중판에서 임의의 차원 $n \geq 2$ 인 다변수판으로 일반화한다.
• 특성화는 코이중으로 가환하는 부분모듈러스에 대한 비를링 유형의 정리를 제공하며, 그것들이 일변수 내부 함수로 생성된 주 이상수의 합임을 규명한다.