[논문 리뷰] Jordan counterparts of Rickart and Baer $*$-algebras

Shavkat Ayupov, Farhodjon Arzikulov|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 23.

Advanced Algebra and Logic인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리카르트와 베어 $*$-대수의 조르단 대수 버전을 도입하며, 모든 원소의 앙니힐레이터가 아이디포텐트에 의해 생성되는 조건을 통해 리카르트 조르단 대수를 정의한다. 유한차원 단위 조르단 대수에서 노르말러트 요소가 없는 경우가 정확히 베어 조르단 대수임을 증명하고, 단순 조르단 대수들의 직합으로 분해되며, 최소 아이디포텐트를 포함하는 대수들에 대한 분류 결과를 제시한다.

ABSTRACT

There are Jordan analogues of annihilators in Jordan algebras which are called Jordan annihilators. The present paper is devoted to investigation of those Jordan algebras every Jordan annihilator of which is generated by an idempotent as an inner ideal. We prove that a finite dimensional unital Jordan algebra satisfies this condition if and only if it has no nilpotent elements, and in this case it is a direct sum of simple Jordan algebras.

연구 동기 및 목표

• 조르단 대수의 리카르트 및 베어 $*$-대수에 해당하는 버전을 앙니힐레이터 조건을 사용하여 정의하고 연구하기.
• 노르말러트 요소가 없는 유한차원 단위 조르단 대수의 특성화를 아이디포텐트에 의해 앙니힐레이터가 생성되는 조건을 통해 수행하기.
• 1을 합하여 서로 수직이고 강하게 연결된 최소 아이디포텐트 $n \geq 3$개를 포함하는 유한차원 베어 조르단 대수를 분류하기.
• 모든 유한차원 단위 조르단 대수에서 노르말러트 요소가 없는 경우가 베어 조르단 대수임을 증명하기.
• 이러한 대수가 단순 조르단 대수들의 직합으로 분해됨을 증명하기.

제안 방법

• 조르단 앙니힐레이터 $S^\perp = \{a \in A : U_a x = 0 \text{ for all } x \in S\}$ 및 $^\perp S = \{x \in A : U_a x = 0 \text{ for all } a \in S\}$를 정의하기.
• 조건 (A1)을 통해 리카르트 조르단 대수를 정의: 모든 $x \in A_+$에 대해 $\{x\}^\perp = U_e(A)$를 만족하는 아이디포텐트 $e$가 존재한다.
• 조건 (B1)을 통해 베어 조르단 대수를 정의: 모든 $x \in A$에 대해 $^\perp\{x\}_+ = U_e(A)_+$를 만족하는 아이디포텐트 $e$가 존재한다.
• 조르단 대수에서 $U_a$ 연산과 내부 이상을 분석하기 위해 쇼르쇼프-코언 및 맥도널드 항등식을 사용하기.
• 좌표화 정리와 최소 아이디포텐트의 성질을 적용하여 $n \geq 3$개의 수직 최소 아이디포텐트가 1을 합하는 대수를 분류하기.
• 아이디포텐트에 대한 격자 이론적 추론을 통해 최소 상한의 존재성과 아이디포텐트 격자의 완전성 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조르단 대수에서 부분집합의 앙니힐레이터가 내부 이상으로서 아이디포텐트에 의해 생성되는 조건은 언제 성립하는가?
• RQ2 모든 조르단 앙니힐레이터가 아이디포텐트에 의해 생성되는 조건을 만족하는 유한차원 단위 조르단 대수는 어떤 특성을 가지는가?
• RQ3 노르말러트 요소가 없는 유한차원 단위 조르단 대수 중에서 베어 조르단 대수인 것은 무엇인가?
• RQ4 1을 합하여 서로 수직이고 강하게 연결된 최소 아이디포텐트 $n \geq 3$개를 포함하는 유한차원 베어 조르단 대수의 구조는 어떠한가?
• RQ5 $*$-대수에서의 리카르트 및 베어 조건이 조르단 대수로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 유한차원 단위 조르단 대수가 노르말러트 요소가 없는 경우에만 베어 조르단 대수이다.
• 모든 유한차원 단위 조르단 대수에서 노르말러트 요소가 없는 경우는 단순 조르단 대수들의 직합으로 분해된다.
• 유한차원 베어 조르단 대수가 $n \geq 3$개의 서로 수직이고 강하게 연결된 최소 아이디포텐트를 포함하며 그 합이 1이라면, $n=3$일 경우 $H_n(\mathbb{R})$, $H_n(\mathbb{C})$, $H_n(\mathbb{H})$, 또는 $H_3(\mathbb{O})$와 동형이다.
• 모든 유한차원 단위 조르단 대수에서 노르말러트 요소가 없는 경우는 조건 (A1)을 만족하므로 리카르트 조르단 대수이다.
• 노르말러트 요소가 없는 유한차원 단위 조르단 대수에서 아이디포텐트의 격자는 완비이다.
• 유한차원 형식적으로 실수인 단위 조르단 대수에서 두 개의 연결된 최소 아이디포텐트가 1을 합할 때, $\dim A = 3$이면 $A \cong H_2(\mathbb{R})$이고, $\dim A = 4$이면 $A \cong \mathbb{R} \oplus H$이다. 여기서 $H$는 두 차원 힐버트 공간이다.