[논문 리뷰] Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties

Vladimir L. Popov|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대수기하학적 다양체의 자기동형사상 및 유리형 동형사상 군의 링드르 군에 대해 연구하며, 이러한 군들이 링드르 성질을 가진다는 것을 입증한다. 즉, 모든 유한부분군이 유계된 지수를 가진 정규 아벨 부분군을 포함한다. 주요 기여는 비선형임에도 불구하고 평면 크레모나 군 $\mathrm{Cr}_2$ 가 링드르 성질을 가진다는 것을 증명하고, 토르스키 몬스터 군과 같은 비선형 링드르 군의 예를 제시하는 것이다. 이들 군은 비선형이지만 여전히 링드르 성질을 가지며, 링드르 상수는 1이다.

ABSTRACT

This is the expanded version of my talk at the workshop "Groups of Automorphisms in Birational and Affine Geometry", October 29--November 3, 2012, Levico Terme, Italy. The first section is focused on Jordan groups in abstract setting, the second on that in the settings of automorphisms groups and groups of birational self-maps of algebraic varieties. The appendix is the expanded version of my notes on open problems posted on the site of this workshop. It contains formulations of some open problems and the relevant comments.

연구 동기 및 목표

• 대수적으로 닫힌 체에서의 대수기하학적 다양체의 자기동형사상 및 유리형 동형사상 군에 대해 링드르 성질을 확립하기 위해.
• 특히 크레모나 군과 유한 지수를 가진 무한군과 같은 비선형 군이 여전히 링드르 성질을 가질 수 있는지 조사하기 위해.
• 유한부분군의 구조를 정규 아벨 부분군의 지수를 유계화하여 규명하기 위해.
• 군 작용과 링드르 성질 사이의 관계를 기저 변경과 유도된 작용을 통해 탐색하기 위해.
• 비압축 가능한 유한부분군과 크레모나 군 내의 부분군의 동형류에 관한 열린 문제를 제시하고 분석하기 위해.

제안 방법

• 링드르 군의 정의를 사용: 모든 유한부분군은 지수가 $d = J_G$인 정규 아벨 부분군을 포함한다. 여기서 $J_G$는 링드르 상수이다.
• 클래식한 결과를 적용: $\mathrm{GL}_n(k)$에 대한 조르당 정리와 유한단순군의 분류를 이용한 콜린스의 $J_{\mathrm{GL}_n(k)}$ 분류.
• 군론적 도구를 활용: 임의의 유한부분군 $K$에 대해, $[K:N] \leqslant [K:Q]!$ 를 만족하는 정규부분군 $N \subseteq K$ 가 존재하면 링드르 성질이 정규성의 약화에 대해 유지됨을 보장한다.
• 다양체 위의 군 작용을 분석: 특히 매끄럽고 사영적인 곡선과 고정점에서의 접선공간 위의 충실한 작용을 통해 $\mathrm{Cr}_n$ 으로의 임베딩을 구성한다.
• 기저 변경 구조를 사용하여 $\mathrm{Cr}_n$ 의 부분군을 연결함; 비자명한 기저 변경을 통해 한 부분군이 다른 부분군으로부터 유도됨을 보이며, $\mathrm{SL}_{n+1}$ 에서의 웨일 군의 경우를 포함한다.
• 대수기하학의 결과를 적용: 허리츠 공식과 코homological 제약 조건을 사용하여 일부 군 작용을 배제하고 부분군의 비동형성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형임에도 불구하고 평면 크레모나 군 $\mathrm{Cr}_2$ 는 링드르 성질을 가지는가?
• RQ2 큰 홀수 $n$ 에 대해 토르스키 몬스터 군이나 버너즈 군 $B(d,n)$ 와 같은 무한 비선형 군은 링드르 성질을 가질 수 있는가?
• RQ3 $\mathrm{Cr}_n$ 의 두 유한부분군이 서로 동형이지만 동형류가 아닐 조건은 무엇인가?
• RQ4 유한부분군 $G \subset \mathrm{Bir}(X)$ 가 비압축 가능할 조건은 무엇이며, 이는 $X$ 상의 고정점에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기저 변경은 $\mathrm{Cr}_n$ 의 유한부분군의 동형류에 어떤 영향을 미치며, 한 부분군이 다른 부분군으로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 평면 크레모나 군 $\mathrm{Cr}_2$ 는 링드르 성질을 가지며, 명시적인 상한이 존재한다: 모든 유한부분군은 랭크가 최대 2인 정규 아벨 부분군을 포함하며, 그 지수는 $2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ 에 의해 나누어진다.
• $d \geqslant 2$ 이고 홀수 $n \geqslant 665$ 인 경우, 군 $B(d,n) = F_d / F_d^n$ 는 링드르 성질을 가지며 링드르 상수 $J_{B(d,n)} = 1$ 이다. 비록 무한이고 비선형인데도 말이다.
• 큰 소수 $p$ 에 대해 토르스키 몬스터 군 $T(p)$ 는 링드르 성질을 가지며 $J_{T(p)} = 1$ 이다. 모든 유한부분군이 순환군이기 때문이다.
• $n \geqslant 3$ 인 경우, 웨일 군 $\mathrm{Sym}_n$ 은 $\mathrm{Cr}_n$ 에 두 가지 동형류가 다른 방식으로 임베딩될 수 있다: 하나는 최대 토루스 위의 작용에서 유도되고, 다른 하나는 그 리 대칭에서 유도되며, 후자는 전자를 비자명한 기저 변경을 통해 유도된다.
• 만약 $X$ 가 비유리 다양체이고 $G$ 가 $\mathrm{Aut}(X)$ 의 비압축 가능한 유한부분군이라면, $X^G = \varnothing$ 이다. 즉, $G$ 는 고정점을 가지지 않는다.
• $\mathrm{GL}_n(k)$ 의 링드르 상수는 콜린스의 분류를 통해 정확히 알려져 있으며, $n \geqslant 71$ 이고 $n = 63,65,67,69$ 일 때 $J_{\mathrm{GL}_n(k)} = (n+1)!$ 이며, $n \leqslant 6$ 일 때는 정확한 값이 알려져 있다.