[논문 리뷰] Jost-Lehmann-Dyson Representation and Froissart-Martin Bound in Quantum Field Theory on Noncommutative Space-Time

Масуд Чайчиан, Anca Tureanu|ArXiv.org|2004. 03. 02.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 공간-공간 비틀림성(noncommutativity)을 갖는 비틀림 양자장이론(NC QFT, θ₀ᵢ = 0)에서 고에너지 산란 단면적에 대한 상한을 조사한다. 이 이론은 SO(1,1)×SO(2) 대칭성을 유지한다. 물리적으로 타당한 인과성 조건을 사용하여, 산란 진폭의 해석적 영역으로서 cosΘ에서의 레흐만 타원형(Lehmann ellipse)을 도출함으로써, 총 단면적에 대한 프로이사르트-마르틴 상한(Froissart-Martin bound)을 처음으로 엄밀하게 유도한다. 이 유도 결과는 입사 운동량이 비틀림 평면에 수직일 경우에만 유효하다.

ABSTRACT

In the framework of quantum field theory (QFT) on noncommutative (NC) space-time with $SO(1,1) imes SO(2)$ symmetry, which is the feature arising when one has only space-space noncommutativity ($θ_{0i}=0$), we prove that the Jost-Lehmann-Dyson representation, based on the causality condition usually taken in connection with this symmetry, leads to the mere impossibility of drawing any conclusion on the analyticity of the $2 o 2$-scattering amplitude in $\cosΘ$, $Θ$ being the scattering angle. A physical choice of the causality condition rescues the situation and as a result an analog of Lehmann's ellipse as domain of analyticity in $\cosΘ$ is obtained. However, the enlargement of this analyticity domain to Martin's ellipse and the derivation of the Froissart bound for the total cross-section in NC QFT is possible {\it only} in the special case when the incoming momentum is orthogonal to the NC plane. This is the first example of a nonlocal theory in which the cross-sections are subject to a high-energy bound. For the general configuration of the direction of the incoming particle, although the scattering amplitude is still analytic in the Lehmann ellipse, no bound on the total cross-section has been derived. This is due to the lack of a simple unitarity constraint on the partial-wave amplitudes, which could be used in this case. High-energy upper bounds on the total cross-section, among others, are also obtained for an arbitrary flat (noncompact) dimension of NC space-time.

연구 동기 및 목표

• 공간-공간 비틀림성(noncommutativity)을 고려한 비틀림 양자장이론(NC QFT)에서 총 단면적에 대한 고에너지 상한을 확립하는 것.
• 기존의 유니터리 양자장이론(commutative QFT)에서 알려진 프로이사르트-마르틴 상한이 비국소적 NC QFT로 확장될 수 있는지 조사하는 것. 이 경우 라우레츠 불변성은 위반되지만, 이동 불변성은 유지된다.
• 산란 진폭의 해석성 및 유니터리성 구조가 이러한 상한을 허용하는 데 필요한 운동역학적 조건(예: 입사 운동량이 비틀림 평면에 대한 방향)을 규명하는 것.
• 임의의 차원 수를 가진 비틀림 시공간으로 분석을 일반화하여, 짝수 차원과 홀수 차원 간의 차이를 구분하는 것.
• 비국소성과 각 변수의 증가로 인해 부분파 진폭에 대한 단순한 유니터리 제약 조건이 존재하지 않는 상황에서 이러한 상한을 도출하는 데 직면한 과제를 해결하는 것.

제안 방법

• SO(1,1)×SO(2) 대칭성을 갖는 NC QFT에 대해 조르스트-레흐만-다이슨 표현을 적응하여, 비틀림 구조에 맞게 조정된 인과성 조건과 스펙트럼 조건을 사용한다.
• 유한한 비국소성 범위를 (x₁,x₂) 평면에 고려하는 새로운 물리적 인과성 조건(Eq. 3.39)을 도입하여, 즉각적 전파를 방지하고 cosΘ에서의 해석성을 복원한다.
• 웨이트먼-블라디미로프-페트리나 정리에 의해, 새로운 인과성 조건이 기존의 유니터리 QFT에서의 표준 조건과 형식적으로 동치임을 증명한다.
• 산란 진폭이 cosΘ에서의 레흐만 타원형 내에서 해석적임을 입증하여, 기존의 유니터리 QFT와 유사한 분산 관계를 적용할 수 있음을 보장한다.
• 부분파 진폭에 대한 유니터리 제약 조건을 적용하여 총 단면적, 미분 단면적, 비정면 산란 진폭에 대한 상한을 도출한다.
• 결과를 D차원 NC 시공간으로 일반화하여, 짝수 D와 홀수 D 간의 상이한 행동을 식별하며, 특히 추가적인 각 변수가 나타나는 문제를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-공간 비틀림성(noncommutativity)을 갖는 비틀림 양자장이론(NC QFT)에서 프로이사르트-마르틴 상한을 엄밀하게 도출할 수 있는가?
• RQ2 어떤 운동역학적 조건(예: 비틀림 평면에 대한 입사 운동량의 방향)에서 cosΘ에서 산란 진폭의 해석적 영역이 고에너지 상한을 도출하는 데 충분한가?
• RQ3 홀수 차원 NC 시공간에서는 레흐만 타원형이 존재함에도 불구하고 표준 프로이사르트 상한 유도 방법이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 입사 운동량이 비틀림 평면에 수직이 아닐 일반적인 경우에, 약한 상한(예: 그린버그-로우 형식)을 얻을 수 있는가?
• RQ5 홀수 차원에서 추가적인 각 변수의 존재가 부분파 진폭에 대한 유니터리 제약 조건과 단면적 상한 도출 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한한 비국소성 범위를 고려하는 새로운 인과성 조건(Eq. 3.39)이 도입되었으며, 이는 (x₁,x₂) 평면 내에서의 비국소성 영향을 반영하고, cosΘ에서의 산란 진폭의 해석성을 복원한다.
• 산란 진폭이 cosΘ에서의 레흐만 타원형 내에서 해석적임을 증명하였으며, 이는 기존의 유니터리 QFT와 동일하게 분산 관계를 적용할 수 있음을 의미한다.
• 총 단면적에 대한 프로이사르트-마르틴 상한은 입사 운동량이 비틀림 평면에 수직일 경우에만 엄밀하게 도출된다(Eq. 4.47).
• 유사한 상한은 입사 운동량이 수직인 구성에서 비정면 산란 진폭(Eq. 4.48)과 미분 단면적(Eq. 4.49)에 대해서도 도출된다.
• 짝수 차원 NC 시공간에서는 입사 운동량이 효과적인 '자기' 벡터 β와 평행일 경우 유사한 상한이 도출된다(Eq. 5.54–5.56).
• 홀수 차원 NC 시공간에서는 추가적인 각 변수의 출현으로 인해 부분파 진폭에 대한 단순한 유니터리 제약 조건이 불가능하므로, 이러한 상한을 도출할 수 없다.