[논문 리뷰] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients and Feller and Strong Feller Properties

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장과 비리프시츠 계수를 갖는 다차원 점프 유형 SDE에 대해 비폭발성, 경로별 유일성, 비융합성을 확립한다. 커플링 방법을 사용하여 펠러 성질과 강한 펠러 성질을 증명하고, 기약성과 지수적 에르고딕성에 대한 조건을 도출하며, 비리프시츠 설정 하에서 레비 유형 연산자에 대한 파이만-카프 공식을 제공한다.

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Levy processes and presents a Feynman-Kac formula for Levy type operators.

연구 동기 및 목표

• 초선형 성장과 비리프시츠 계수를 갖는 다차원 점프 유형 SDE에서의 비폭발성을 보장하는 충분한 조건을 확립하기 위해.
• 해의 경로별 유일성과 비융합성을 보장하는 비리프시츠 조건을 도출하기 위해.
• 커플링 방법을 사용하여 비리프시츠 가정 하에서 펠러 성질과 강한 펠러 성질을 분석하기 위해.
• 이러한 SDE에서 기약성과 지수적 에르고딕성에 대한 충분한 조건을 제공하기 위해.
• 다차원 레비 과정에 의해 구동되는 레비 유형 연산자로의 파이만-카프 공식을 확장하기 위해.

제안 방법

• 리아푸노프 유형 함수 또는 비선형 성장 제약 조건을 사용하여 비폭발성에 대한 충분한 조건을 개발한다.
• 비리프시츠 조건 하에서 커플링 방법을 적용하여 펠러 성질과 강한 펠러 성질을 확립한다.
• 경로별 유일성과 비융합성의 추론을 사용하여 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 비리프시츠 역학 하에서 전이 확률의 지지 성질을 통해 기약성을 도출한다.
• 커플링 기법과 리아푸노프 함수 기준을 조합하여 지수적 에르고딕성을 확립한다.
• 확률적 방법을 적용하여 비리프시츠 특성을 갖는 레비 유형 생성자에 대한 파이만-카프 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 성장과 비리프시츠 조건 하에서 점프 유형 SDE가 폭발하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 SDE에 대해 경로별 유일성과 비융합성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 리프시츠 연속성 없이도 펠러 성질과 강한 펠러 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 비리프시츠 점프 디퓨전에서 기약성과 지수적 에르고딕성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 비리프시츠 계수 하에서 레비 유형 연산자에 대해 파이만-카프 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 초선형 성장과 비리프시츠 계수를 갖는 다차원 점프 유형 SDE에 대해 비폭발성에 대한 충분한 조건이 확립되었다.
• 해의 경로별 유일성과 비융합성을 보장하는 비리프시츠 조건이 도출되었다.
• 비리프시츠 가정 하에서 커플링 방법을 통해 펠러 성질과 강한 펠러 성질이 증명되었다.
• 계수와 점프 구조에 대한 충분한 조건 하에서 기약성과 지수적 에르고딕성이 달성되었다.
• 다차원 레비 과정에 의해 구동되는 레비 유형 연산자에 대해 파이만-카프 공식이 도출되었다.
• 기존의 디퓨전 과정의 고전적 성질들이 비리프시츠 계수를 갖는 더 넓은 범주로의 점프-디퓨전 SDE로 확장되었다.