[논문 리뷰] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients: Non Confluence, Feller and Strong Feller Properties, and Exponential Ergodicity

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초선형, 비리프시츠 계수를 가진 다차원 점프 유형 SDE에서 경로 유일성, 비융합성, 펠러 및 강한 펠러 성질, 지수적 에르고딕성에 대한 충분한 비리프시츠 조건을 설정한다. 커플링 방법과 비하리 유형 부등식을 사용하여 국소 연속성 조건 하에서 폭발 방지, 경로 유일성 및 지수적 에르고딕성을 증명하며, 전통적인 리프시츠 가정을 초월한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Lévy processes and presents a Feynman-Kac formula for Lévy type operators.

연구 동기 및 목표

• 다차원 점프 유형 SDE에 대한 전통적인 선형 성장 및 전역 리프시츠 조건을 완화하기 위해.
• 해당 해가 경로 유일성과 비융합성을 보장하는 국소 비리프시츠 조건을 충분히 확립하기 위해.
• 커플링 기법을 사용하여 국소 비리프시츠 가정 하에서 펠러 및 강한 펠러 성질을 조사하기 위해.
• 비리프시츠 계수를 가진 점프 SDE에서 비가역성과 지수적 에르고디시티를 위한 충분한 조건을 도출하기 위해.
• 일반 레비 과정에 의해 구동되는 레비 유형 연산자로의 페인만-카프 공식을 확장하기 위해.

제안 방법

• 리아푸노프 유형 함수를 통해 초선형 성장 계수를 가진 SDE에서의 폭발 방지를 위한 충분한 조건을 도입한다.
• 부드러운 근사화를 사용한 야마다-와타나베 유형 추론을 적용하여 가정 2.3 하에서 해 간의 L1 거리 제어를 위해.
• 비하리 유형 부등식을 사용하여 L1 거리의 소멸을 보여주며, 국소 비리프시츠 조건 하에서 경로 유일성을 암시한다.
• 커플링 기법을 사용하여 국소 비리프시츠 조건 하에서 펠러 및 강한 펠러 성질을 확립한다.
• 국소 비리프시츠 가정 하에서 비가역성과 포스터-라이아푸노프 조건을 사용하여 지수적 에르고딕성을 도출한다.
• 가측 선택과 분위수 변환을 통해 레비 측도의 가측 표현을 구성하여, 레비 유형 생성자에 대한 페인만-카프 공식을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 계수를 가진 다차원 점프 SDE에서 어떤 국소 비리프시츠 조건 하에서 경로 유일성이 보장되는가?
• RQ2 커플링 기법을 사용하여 국소 비리프시츠 조건 하에서 펠러 및 강한 펠러 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 비리프시츠 계수를 가진 점프 SDE에서 폭발 방지 및 지수적 에르고딕성을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ4 일반 레비 과정에 의해 구동되는 레비 유형 연산자에 대해 페인만-카프 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 국소 비리프시츠 조건 하에서 점프 SDE의 해에 대해 비융합성 성질은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 초선형 성장 계수를 가진 SDE에 대해 폭발 방지를 위한 충분한 조건이 확립되었으며, 선형 성장 가정을 일반화한다.
• 비하리 유형 및 직접 커플링 추론을 통해 경로 유일성을 보장하는 두 가지 국소 비리프시츠 조건 집합(가정 2.3 및 2.5)이 제시된다.
• 동일한 국소 비리프시츠 조건 하에서 비융합성 성질이 검증되었으며, 이는 서로 다른 해가 융합하지 않음을 보장한다.
• 커플링 기법을 사용하여 국소 비리프시츠 조건 하에서 펠러 및 강한 펠러 성질이 증명되었으며, 전통적 결과를 확장한다.
• 비가역성과 리아푸노프 유형 조건 하에서 지수적 에르고딕성이 확립되었으며, 포스터-라이아푸노프 드리프트 조건을 통해 수렴 속도가 유도된다.
• 가측 선택과 분위수 변환을 사용하여 레비 측도의 가측 매개변수화를 구성함으로써, 레비 유형 생성자에 대한 페인만-카프 공식이 도출된다.