[논문 리뷰] $K_0$ of purely infinite simple regular rings

Pere Ara, K. R. Goodearl외 1명|ArXiv.org|2001. 11. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수에서 Cuntz의 개념을 일반화하여 대수적 맥락에서 순수하게 무한한 단순 링의 개념을 도입한다. 이에 따라 이러한 링의 코hen-그로텐디에크 군 $K_0$는 $K_0(R)^+ = K_0(R)$를 만족하며, 자유 대수의 보편 국소화를 이용한 구체적 예를 구성하여, 모든 가산 아벨 군이 순수하게 무한한 단순 정칙 링의 $K_0$로 나타날 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We extend the notion of a purely infinite simple C*-algebra to the context of unital rings, and we study its basic properties, specially those related to K-Theory. For instance, if $R$ is a purely infinite simple ring, then $K_0(R)^+= K_0(R)$, the monoid of isomorphism classes of finitely generated projective $R$-modules is isomorphic to the monoid obtained from $K_0(R)$ by adjoining a new zero element, and $K_1(R)$ is the abelianization of the group of units of $R$. We develop techniques of construction, obtaining new examples in this class in the case of von Neumann regular rings, and we compute the Grothendieck groups of these examples. In particular, we prove that every countable abelian group is isomorphic to $K_0$ of some purely infinite simple regular ring. Finally, some known examples are analyzed within this framework.

연구 동기 및 목표

• 순수하게 무한한 단순 C*-대수의 개념을 단위를 가진 링으로 확장하여 핵심 K-이론적 성질을 유지한다.
• 순수하게 무한한 단순 정칙 링의 예를 생성하기 위한 새로운 대수적 기법을 개발한다.
• 이러한 링의 코헨-그로텐디에크 군 $K_0$를 계산하고, 모든 가산 아벨 군이 $K_0(R)$로 실현될 수 있음을 보인다.
• 기존의 구성들(예: Schofield 및 Rosenmann-Rosset)과 새로운 보편 국소화 구성 간의 동형관계를 확립한다.

제안 방법

• Cuntz의 C*-대수 조건을 일반화하여, 영이 아닌 유한한 프로젝션을 갖지 않는 방식으로 순수하게 무한한 단순 링을 정의한다.
• 특정 오른쪽 $R$-모듈스 준동형사상 $R \to R^{n+1}$을 보편 국소화를 통해 역으로 만들며, 이는 열벡터 $(x_0, \dots, x_n)^T$에 의한 왼쪽 곱셈으로 주어진다.
• 비가환 거듭제곱급수의 부분환에 대해 닫혀 있는, Leavitt 대수 $V_{1,n}$의 확장을 통해 대수를 구성한다.
• 비가환 관계를 다루기 위한 기술적 도구로, 자유로운 독립 변수를 가진 비가환 다항식환을 사용한다.
• 지정된 $K_0$ 군과 호환되는 준동형사상을 갖는 대수들의 귀납적 극한을 적용하여 임의의 가산 아벨 $K_0$ 군을 실현한다.
• 모리타 동치와 코너 링 기법을 사용하여 $K_0$-보존 사상의 구성 요소를 목표 대수에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수하게 무한한 단순성의 개념은 C*-대수에서 일반적인 단위를 가진 링으로 의미적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 순수하게 무한한 단순 링의 $K_0$ 및 $K_1$ 군은 C*-대수의 경우와 동일한 구조적 패턴을 따르는가?
• RQ3 모든 가산 아벨 군은 순수하게 무한한 단순 정칙 링의 $K_0$로 실현될 수 있는가?
• RQ4 Schofield 및 Rosenmann-Rosset의 기존 구성들은 자유 대수의 보편 국소화를 통한 구성과 동형인가?
• RQ5 보편 국소화와 비가환 미분은 주어진 $K_0$ 군을 갖는 링을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 가산 아벨 군은 특정 $K_0$-보존 사상이 있는 대수들의 귀납적 극한을 통해, 순수하게 무한한 단순 정칙 $k$-대수 $R$에 대해 $K_0(R)$로 실현된다.
• 특정 $V_{1,n}$-형 확장을 통해 구성된 대수의 $K_0$ 군은 항상 순서 $n$인 순환군이다.
• $K_0$ 군이 유한 순환군일 경우, 이러한 링 위의 유한 생성 프로젝티브 모듈은 항상 자유 모듈이다.
• 비가환 거듭제곱급수 부분환의 보편 국소화를 통해 구성된 대수들은 Schofield 및 Rosenmann-Rosset의 구성과 동형이며, 이는 두 가지 동치 구성 방법을 확립한다.
• 유한 생성 프로젝티브 모듈의 동형류의 모노이드는 $K_0(R)$에 0 원소를 추가한 것과 동형이다.
• 순수하게 무한한 단순 링의 $K_1$ 군은 그 단위군의 아벨화이다.