[논문 리뷰] K_1 of some Iwasawa algebras

Mahesh Kakde|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1차원 컴팩트 $p$-진 리군 $\mathcal{G}$에서 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$인 경우, Oliver와 Taylor의 정수 로그를 사용하여 Iwasawa 대수의 Whitehead 군 $K_1$을 계산한다. $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$가 단위군과 $\mathcal{G}$의 아벨화와 관련된 정확한 수열을 확립하고, Ore 집합 $S$에 대한 국소화가 핵심적인 구조적 성질을 유지함을 증명하여 Kato와 Hara의 이전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Noncommutative Iwasawa theory has created a lot of interest in Whitehead groups of Iwasawa algebras of compact p-adic Lie groups with a quotient isomorphic to the additive group of p-adic integers. In this paper we compute Whitehead groups of Iwasawa algebra of a pro-p compact p-adic Lie group of dimension one. We also give results on Whitehead groups of the localisation of such Iwasawa algebras at the canonical Ore set defined by Coates, Fukaya, Kato, Sujatha and Venjakob.

연구 동기 및 목표

• 1차원 컴팩트 $p$-진 리군 $\mathcal{G}$에 대해 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$인 경우 Whitehead 군 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$를 기술하는 것.
• Kato, Hara, Kakde의 Iwasawa 대수의 $K_1$에 대한 결과를 이 군의 범주로 일반화하는 것.
• Coates 등이 정의한 Ore 집합 $S$를 통해 국소화된 Iwasawa 대수 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$의 구조를 분석하는 것.
• 정수 로그를 핵심 도구로 사용하여 $K_1$, 단위군, $\mathcal{G}$의 아벨화를 포함하는 정확한 수열을 확립하는 것.

제안 방법

• 대칭 2-코호몰로지 $\tau$를 사용하여 Iwasawa 대수 $\Lambda_O(\mathcal{G})$를 $\Lambda_O(\Gamma^{p^e})[G]^\tau$ 형태의 외적 군환으로 표현하는 것.
• Ore 집합 $S$를 $\Lambda_O(\mathcal{G})/\Lambda_O(\mathcal{G})f$가 $O$-모듈로 유한 생성일 때 원소 $f$의 집합으로 정의하는 것.
• 외적 군환의 원소의 로그와 $\beta^G$-사상의 상을 사용하여 정수 로그 사상 $\mathcal{L}: \Phi^G \to \psi^G$를 구성하는 것.
• $\theta^G$, $\beta^G$, $\mathcal{L}$를 포함하는 교환 다이어그램을 이용하여 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$를 단위군과 아벨화와 연결하는 것.
• $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$에서의 국소화 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$가 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$와 동형임을 증명하여 국소화 기법의 적용을 가능하게 하는 것.
• 5-보조정리(5-lemma)를 교환 다이어그램에 적용하여 $K_1$과 $\Phi^G$의 구조를 포함하는 수열의 정확성을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 컴팩트 $p$-진 리군 $\mathcal{G}$에서 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$인 경우 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$의 구조는 무엇인가?
• RQ2 Oliver와 Taylor의 정수 로그는 Iwasawa 대수의 $K_1$-군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$의 상은 무엇인가?
• RQ4 Ore 집합 $S$에 대한 국소화는 Iwasawa 대수의 $K_1$과 단위군의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 $T$에 대한 국소화 사상 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T \to \Lambda_O(\mathcal{G})_S$는 관련된 Ore 집합 $T$에 대해 동형사상인가?

주요 결과

• $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$는 $\beta^G$의 상으로부터 전사이며, 핵은 $\mu(O) \times \mathcal{G}^{ab}$와 동형이다.
• 정확한 수열 $1 \to \mu(O) \times \mathcal{G}^{ab} \to \Phi^G \xrightarrow{\mathcal{L}} \psi^G \xrightarrow{\omega} \langle(-1)^{p-1}\rangle \times \mathcal{G}^{ab} \to 1$이 성립하며, $\mathcal{L}$는 정수 로그를 통해 정의된다.
• $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$에서의 국소화 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$는 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$와 동형이므로, $S$-국소화는 $T$-국소화와 동치이다.
• $\theta^G_S$의 상은 $\Phi^G_S$에 포함되며, $\Phi^G_S \cap \prod_{P \in C(G)} \Lambda_O(U_P)^\times = \mathrm{Im}(\theta^G)$이므로 국소화와의 호환성이 보장된다.
• 교환 다이어그램에 $K_1$, $\theta^G$, $\beta^G$, $\mathcal{L}$를 적용하여 5-보조정리를 사용하여 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$가 $\omega \circ \mathcal{L}$의 핵으로 동형사상으로 사상됨을 증명한다.
• 결과적으로 Kato와 Hara의 이전 작업을 일반화하여, $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$인 모든 1차원 $p$-진 리군에 대해 $K_1$-계산을 확장한다.