[논문 리뷰] k-Disjunctive cuts and a finite cutting plane algorithm for general mixed integer linear programs

Markus Jörg|ArXiv.org|2007. 07. 26.

Vehicle Routing Optimization Methods인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 혼합정수선형계획문제(MILP)에 대해 유한한 커팅 평면 알고리즘을 가능하게 하는, 다항조건불등식에 기반한 split 커팅의 일반화인 k-disjunctive cuts를 제안한다. k-disjunctive cuts를 Gomory 혼합정수선형계획 커팅과 조합함으로써 저자들은 기존의 split 커팅 접근법에서 유한수렴이 보장되지 않는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we give a generalization of the well known split cuts of Cook, Kannan and Schrijver to cuts which are based on multi-term disjunctions. They will be called k-disjunctive cuts. The starting point is the question what kind of cuts is needed for a finite cutting plane algorithm for general mixed integer programs. We will deal with this question in detail and derive cutting planes based on k-disjunctions related to a given cut vector. Finally we will show how a finite cutting plane algorithm can be established using these cuts in combination with Gomory mixed integer cuts.

연구 동기 및 목표

• 일반 혼합정수선형계획문제(MILP)에 대해 커팅 평면 알고리즘이 유한수렴을 보장하지 못하는 문제를 해결한다. 여기서 split 커팅은 유한수렴을 보장하지 못한다.
• 다항조건불등식(k-disjunction)이 기존의 split 커팅보다 MILP에 대해 더 강력한 커팅을 유도할 수 있는지 조사한다.
• k-disjunctive cuts와 Gomory 혼합정수선형계획 커팅을 조합하여 유한수렴 알고리즘을 개발한다.
• 주어진 커팅 벡터와 이중뿔의 극단선형들로부터 k-disjunctive cuts를 구성하는 방법을 제시한다.
• k-disjunctive cuts가 split 커팅만으로는 불가능한 경우에도 정수껍질을 유한단계 내에 포괄할 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• k-disjunctive cuts를 $\bigvee_{i=1}^k (d_i^T x \leq \delta_i \vee d_i^T x \geq \delta_i + 1)$ 형태의 k항 조건불등식에서 유도된 타당한 부등식으로 정의한다. 이는 split 커팅을 일반화한다.
• 정수변수에 대한 다면체 $P$의 사영 $\mathrm{proj}_X(P)$을 사용하여 정수껍질 $P_I$의 구조를 분석한다.
• 이중뿔 $Q = \{v \in \mathbb{R}^m : G^T v = 0, v \geq 0\}$ 와 그 극단선형 $v^r$ 을 이용해 k-disjunctive cuts를 구성한다.
• 유한수렴을 보장하기 위해 최소색인 규칙을 적용한 렉시코그래픽 Simplex 방법을 사용하여 커팅을 생성한다.
• k-disjunctive cuts를 Gomory 혼합정수선형계획 커팅과 조합하여, 특히 최적목적함수값이 정수일 경우 유한종료를 보장한다.
• 정수계획문제(ILP)의 경우 목적함수 벡터에 Chvátal-Gomory 절차를 적용하여 커팅을 생성하며, 이는 표준 Gomory 커팅으로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항조건불등식에 기반한 k-disjunctive cuts는 일반 MILP에 대한 커팅 평면 알고리즘에서 유한수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ2 정수껍질 $P_I$와 다면체 $P$의 어떤 구조적 성질이 split 커팅이 실패할 경우 k-disjunctive cuts가 필수적인가?
• RQ3 주어진 커팅 벡터와 이중뿔 $Q$의 극단선형들로부터 k-disjunctive cuts를 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ4 k-disjunctive cuts와 Gomory 혼합정수선형계획 커팅의 조합이 어떤 조건에서 유한한 커팅 평면 알고리즘을 제공하는가?
• RQ5 k-disjunctive cuts는 split 커팅, 혼합정수반복 커팅, Gomory 커팅과 같은 기존의 커팅들을 얼마나 일반화하는가?

주요 결과

• k-Disjunctive cuts는 다항조건불등식을 允許함으로써 split 커팅을 일반화하며, 기존 split 커팅보다 더 강력한 커팅을 가능하게 한다.
• 논문은 k-disjunctive cuts와 Gomory 혼합정수선형계획 커팅을 조합하여 일반 MILP에 대해 유한수렴 알고리즘을 구성한다.
• 정수계획문제(ILP)의 경우 목적함수에 대한 k-disjunctive cut는 Chvátal-Gomory cut로 축소되며, 표준 Gomory 알고리즘을 복원한다.
• 최적목적함수값이 정수이고, 최소색인 규칙을 적용한 렉시코그래픽 Simplex 방법을 사용할 경우 유한수렴이 달성된다.
• 이중뿔 $Q$의 극단선형 수 $|R|$ 는 지수적으로 증가하므로, k-disjunctive cuts의 계산은 실질적으로 계산적으로 도전적이다.
• 알고리즘은 MILP를 다면체 $P$의 $p$-차원 면 위의 다수의 이산부문 문제로 해석하며, 지수적으로 많은 분할초평면을 기반으로 한 커팅의 필요성을 정당화한다.