[논문 리뷰] k-Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 3인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 k-Mittag-Leffler 함수를 사용하여 기존 분수적 미적분 프레임워크를 일반화하는 k-Hilfer-Prabhakar 분수도 및 그 정규화된 형태를 도입한다. 이들 연산자에 대한 라플라스 및 수미두 변환을 유도하고, 물리학에서 비동차 코쉬 유형 문제를 해결하는 데 응용하여 일반화된 k-Mittag-Leffler 함수로 표현되는 명시적 해를 도출함으로써 Hilfer-Prabhakar 및 k-Prabhakar 미적분학의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we define the regularized version of k-Prabhakar fractional derivative, k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative, regularized version of k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and find their Laplace and Sumudu transforms. Using these results, the relation between k-Prabhakar fractional derivative and its regularized ver- sion involving k-Mittag-Leffler function is obtained. Similarly the relation between k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version is also obtained. Further, we find the solutions of some problems in physics in which k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version are involved.

연구 동기 및 목표

• k-Mittag-Leffler 함수를 사용하여 k-Prabhakar 분수도의 정규화된 형태와 k-Hilfer-Prabhakar 분수도를 정의한다.
• k-Prabhakar 및 k-Hilfer-Prabhakar 분수도의 라플라스 및 수미두 변환을 도출한다.
• k-Prabhakar 도함수와 그 정규화된 형태 사이, 그리고 k-Hilfer-Prabhakar 도함수와 그 정규화된 형태 사이의 해석적 관계를 수립한다.
• 정규화된 형태를 포함한 비동차 코쉬 유형 문제를 적분 변환 기법을 사용하여 k-Hilfer-Prabhakar 도함수로 해결한다.
• 기존의 Hilfer-Prabhakar 및 k-Prabhakar 분수미적분학 프레임워크의 결과를 일반화한다.

제안 방법

• k-Mittag-Leffler 함수와 k-감마 함수를 사용하여 k-Prabhakar 적분을 정의하고, 리만-리우빌 분수적 적분을 일반화한다.
• k-Riemann-Liouville 적분과 도함수 연산자의 병합으로서 k-Prabhakar 도함수를 정의하며, k-Mittag-Leffler 함수를 핵으로 포함한다.
• 기존의 k-Hilfer 적분을 일반화하여 k-Hilfer-Prabhakar 도함수를 정의하며, 표준 k-Riemann-Liouville 적분 대신 k-Prabhakar 적분을 사용한다.
• k-Mittag-Leffler 함수의 성질을 이용하여 k-Prabhakar 및 k-Hilfer-Prabhakar 도함수의 라플라스 및 수미두 변환을 유도한다.
• 라플라스 및 수미두 변환을 사용하여 k-Hilfer-Prabhakar 도함수와 그 정규화된 형태를 포함한 비동차 코쉬 문제를 해결한다.
• 역 변환을 적용하여 일반화된 k-Mittag-Leffler 함수 및 푸리에-베셀 적분으로 표현된 명시적 해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-Prabhakar 분수도와 그 정규화된 형태 사이의 해석적 관계는 무엇인가?
• RQ2 k-Hilfer-Prabhakar 분수도는 어떻게 정의되며, 그 정규화된 형태와의 관계는 무엇인가?
• RQ3 k-Prabhakar 및 k-Hilfer-Prabhakar 분수도의 라플라스 및 수미두 변환은 무엇인가?
• RQ4 k-Hilfer-Prabhakar 도함수를 사용하여 수학적 물리학에서 비동차 코쉬 유형 문제를 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ5 이러한 문제의 해는 적분 변환 기법을 사용하여 일반화된 k-Mittag-Leffler 함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• k-Prabhakar 도함수의 라플라스 변환은 $ \frac{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}{k} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} $로 유도되며, k-Mittag-Leffler 함수를 포함한다.
• k-Prabhakar 적분의 수미두 변환이 도출되어 기존 결과를 k-해석 프레임워크로 확장한다.
• 라플라스 및 푸리에 변환을 사용하여 k-Hilfer-Prabhakar 도함수를 포함한 비동차 코쉬 문제에 대한 폐쇄형 해를 도출한다.
• 코쉬 문제 $ {}_{k}^{C}\nabla_{\nu,\nu,0^{+}}^{\nu,\nu,\nu} u(x,t) = K \frac{\nu^{2}}{\nu x^{2}} u(x,t) $의 해는 $ u(x,t) = \frac{1}{2k^{2}\nu} \nu_{-\nu}^{\nu} dp\thinspace e^{ipx} \nu g(p) \nu_{n=0}^{\nu} (-K)^{n} p^{2n} t^{\frac{n\nu}{k}} E_{k,\nu,n\nu+k}^{n\nu}(\nu t^{\frac{\nu}{k}}) $로 주어지며, k-Mittag-Leffler 함수를 포함한다.
• 라플라스 및 수미두 변환을 사용한 해법은 동일한 결과를 도출하여 다양한 변환 기법 간의 일관성을 확인한다.
• 이전의 Hilfer-Prabhakar 및 k-Prabhakar 분수미적분학 결과를 일반화하여, k-해석 핵을 가진 더 넓은 범주로 분수적 연산자로 확장한다.