[논문 리뷰] Kähler geometry of bounded pseudoconvex Hartogs domains

Yihong Hao, An Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 17.

Geometry and complex manifolds인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 영역의 정의 함수로부터 유도된 자연스러운 완전한 켈러 메트릭 $ g^\olimits $ 를 분석하여 유계 타원형 허트고스 도메인의 켈러 기하학을 조사한다. $ g^\olimits $ 이 켈러-아인슈타인 또는 극값이 되는 조건을 규명하고, 캘라비의 다이아스타시스 기준과 기저 도메인의 곡률 분석을 통해 유한 또는 무한 차원 복소 공간 형태로의 해석적 등거리 임베딩 존재 여부를 규명한다.

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded pseudoconvex Hartogs domain. There exists a natural complete Kähler metric $g^Ω$ in terms of its defining function. In this paper, we study two problems. The first one is determining when $g^Ω$ is Einstein or extremal. The second one is the existence of holomorphic isometric immersions of $(Ω, g^Ω)$ into finite or infinite dimensional complex space forms.

연구 동기 및 목표

• 유계 타원형 허트고스 도메인에서 자연스러운 켈러 메트릭 $ g^\nolimits $ 가 켈러-아인슈타인 또는 극값이 되는 조건을 규명하는 것.
• 복소 유클리드, 복소 사영, 또는 복소 쌍곡 기하학적 형태로 $ (\Omega, g^\Omega) $ 의 해석적 등거리 임베딩 존재 여부를 결정하는 것.
• 허트고스 도메인의 기하적 성질이 기저 도메인 $ D $ 의 성질과 어떻게 관련되어 있는지, 특히 곡률과 다변수 복소 함수의 하모닉성에 기반하여 규명하는 것.
• 캘라비의 기준과 다이아스타시스 함수를 활용하여 이전의 카르탕-허트고스 도메인 결과를 일반적인 유계 타원형 허트고스 도메인으로 확장하는 것.

제안 방법

• 기저 도메인 $ D $ 에서의 엑haustion 함수인 엄밀한 다변수 복소 함수인 $ \varphi $ 를 사용하여 켈러 잠재함수 $ -\log(\varphi(z) - \|z_0\|^2) $ 를 정의함으로써 켈러 메트릭 $ g^\Omega $ 를 정의한다.
• 해석적 등거리 임베딩 존재 여부를 분석하기 위해 캘라비의 다이아스타시스 기준을 적용하고, 메트릭 잠재함수의 테일러 전개로부터 유도된 특정 행렬의 정규성 여부를 검토한다.
• 메트릭이 잘 정의되고 완전하기 위해 $ -\log\varphi $ 가 엄밀한 다변수 복소 함수이자 $ C^\infty $ 임을 조건으로 한다.
• 허트고스 도메인의 원형 대칭성을 활용하여 임베딩 문제를 기저 도메인으로 환원함으로써 다이아스타시스의 보흐너 좌표를 단순화한다.
• 메트릭 잠재함수로부터 유도된 곡률 공식을 사용하여 $ g^\Omega $ 의 리치 곡률과 스칼라 곡률을 분석함으로써, 이 메트릭이 아인슈타인 또는 극값이 되는 조건을 규명한다.
• 청-요우 및 모크-요우의 방법과 유사하게 연속성 방법과 몽게-암페르 방정식 기법을 활용하여 자연스러운 메트릭 $ g^\Omega $ 가 베르그만 메트릭과 켈러-아인슈타인 기하학과 어떻게 관련되어 있는지 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 도메인 $ D $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 유계 타원형 허트고스 도메인 $ \Omega $ 에서의 자연스러운 켈러 메트릭 $ g^\Omega $ 가 켈러-아인슈타인이 되는가?
• RQ2 자연스러운 켈러 메트릭 $ g^\Omega $ 가 언제 극값이 되며, 이는 $ g^\Omega $ 의 스칼라 곡률과 리치 곡률과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 허트고스 도메인 $ (\Omega, g^\Omega) $ 는 언제 복소 유클리드, 사영, 또는 쌍곡 기하학적 형태로 해석적 등거리 임베딩을 갖는가?
• RQ4 $ (\Omega, g^\Omega) $ 의 임베딩 성질이 기저 도메인 $ (D, g^D) $ 의 임베딩 성질과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 메트릭의 동치성과 관련된 매개변수 $ h $ 는 복소 쌍곡 기하학으로의 임베딩 존재 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유계 타원형 허트고스 도메인에서 자연스러운 켈러 메트릭 $ g^\Omega $ 는 기저 메트릭 $ g^D $ 의 리치 곡률이 $ -(d+1) $ 인 경우에만 켈러-아인슈타인이다. 여기서 $ d $ 는 기저의 복소 차원수이다.
• 메트릭 $ g^\Omega $ 가 극값이 되는 것은 스칼라 곡률이 일정한 경우에만 가능하며, 이는 정확히 $ g^D $ 가 리치 곡률 $ -(d+1) $ 인 켈러-아인슈타인일 때 성립한다.
• 기저 $ (D, g^D) $ 가 $ \mathbb{CH}^N $ 에 $ N \leq \infty $ 인 경우에 해석적 등거리 임베딩을 갖는다 하더라도, $ 0 < h < 1 $ 인 조건 하에서 $ (\Omega, g^\Omega) $ 가 $ \mathbb{CH}^\infty $ 로 해석적 등거리 임베딩을 갖는다.
• $ h \geq 1 $ 인 경우, 행렬 $ C_{z_{01}(i)}(0) $ 는 음이 아닌 정부정행렬가 되지 않아, $ \mathbb{CH}^\infty $ 로의 임베딩이 존재하지 않으며, 따라서 유한 차원 복소 쌍곡 기하학으로의 임베딩도 존재하지 않는다.
• 유한 차원 복소 공간 형태로의 해석적 등거리 임베딩이 존재하지 않는다는 것은 다이아스타시스 전개에서 정부정행렬가 존재하지 않기 때문이다.
• $ \mathbb{C}^\infty $ 와 $ \mathbb{CP}^\infty $ 로의 임베딩 존재 여부는 기저 도메인의 임베딩 성질과 매개변수 $ h $ 에 따라 달라지며, $ \mathbb{CH}^\infty $ 는 오직 $ 0 < h < 1 $ 인 경우에만 가능하다.