[논문 리뷰] k-medoids and p-median clustering are solvable in polynomial time for a 2d Pareto front

Nicolas Dupin, Frank Nielsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 06.

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한 줄 요약

이 논문은 2차원 파레토 프론트에서 k-medoids 및 p-median 클러스터링이 동적 프로그래밍 알고리즘을 통해 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 것을 증명한다. 주요 기여는 K ≥ 3일 때 O(N³) 시간 및 O(KN) 공간 복잡도를 가지며, 구간 클러스터링과 비용 단조성 성질을 통한 최적 클러스터의 새로운 특성화를 활용한 알고리즘이다. K=2일 경우 시간 복잡도는 O(N²)이다.

ABSTRACT

This paper examines a common extension of k-medoids and k-median clustering in the case of a two-dimensional Pareto front, as generated by bi-objective optimization approaches. A characterization of optimal clusters is provided, which allows to solve the optimization problems to optimality in polynomial time using a common dynamic programming algorithm. More precisely, having $N$ points to cluster in $K$ subsets, the complexity of the algorithm is proven in $O(N^3)$ time and $O(K.N)$ memory space when $K\geqslant 3$, cases $K=2$ having a time complexity in $O(N^2)$. Furthermore, speeding-up the dynamic programming algorithm is possible avoiding useless computations, for a practical speed-up without improving the complexity. Parallelization issues are also discussed, to speed-up the algorithm in practice.

연구 동기 및 목표

• 이중 목적 최적화에서 큰 수의 비열등한 해들 중에서 K개의 대표 해를 선택하는 문제에 대응하기 위해.
• 일반적인 경우에서 NP-난이도임에도 불구하고, 2차원 파레토 프론트에서의 k-medoids 및 p-median 클러스터링이 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 것을 증명하기 위해.
• 이 특수 케이스에 대해 전역 최적 해를 계산하는 효율적인 동적 프로그래밍 알고리즘을 개발하기 위해.
• 비교적 복잡도를 변화시키지 않고도 절단 전략과 병렬화를 통해 실용적 성능 향상을 제공하기 위해.
• 향후 고차원 파레토 프론트를 위한 휴리스틱 및 근사 알고리즘의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 k-medoids 및 p-median 클러스터링을 2차원 파레토 프론트에 대해 통합된 공식화를 도입하며, 두 문제를 일반화하는 비용 함수 fα를 사용한다.
• 그들은 2차원 파레토 프론트에서 최적 클러스터는 점들의 정렬 순서에서 연속적인 간격이어야 한다는 것을 증명함으로써, 동적 프로그래밍의 가능성을 확보한다.
• 클러스터 수 K와 점 수 N에 대해 상태 M_{k,i}를 정의하는 동적 프로그래밍 점화식을 설정하며, 이는 처음 i개의 점을 k개의 클러스터로 클러스터링할 때의 최소 비용을 나타낸다.
• 알고리즘은 비용 함수 fα가 클러스터 경계에서 단조롭다는 중요한 성질을 활용하여 내부 루프에서 조기 종료가 가능하다.
• 레마 7과 레마 8에서 유도된 경계를 사용하여 절단 전략을 적용하여 불필요한 fα 계산을 방지한다.
• OpenMP와 같은 프레임워크를 사용하여 내부 루프에서 독립적인 계산을 식별함으로써 병렬화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 평면 케이스에서 NP-난이도임에도 불구하고, 2차원 파레토 프론트에서의 k-medoids 및 p-median 클러스터링은 다항식 시간 내에 해결 가능할 수 있는가?
• RQ2 어떤 2차원 파레토 프론트의 구조적 성질이 동적 프로그래밍 솔루션을 가능하게 하는가?
• RQ3 비교적 복잡도를 변화시키지 않고 실용적으로 동적 프로그래밍 알고리즘을 최적화할 수 있는가?
• RQ4 계산을 조기에 종료할 수 있는 최적 클러스터 분리 색인에 대한 가장 날카로운 경계는 무엇인가?
• RQ5 대규모 파레토 프론트에서 실용적 런타임 향상을 위해 알고리즘이 효율적으로 병렬화될 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 파레토 프론트에서의 k-medoids 및 p-median 클러스터링 문제는 동적 프로그래밍을 통해 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 시간 복잡도는 K ≥ 3일 때 O(N³), K = 2일 때 O(N²)이며, 공간 복잡도는 O(KN)이다.
• 알고리즘은 구간 클러스터링 성질을 활용하여, 최적 클러스터가 파레토 프론트의 정렬 순서에서 연속적임을 증명한다.
• 최적 클러스터 분리 색인의 상한 및 하한에 기반한 절단 전략은 고비용 fα 계산의 수를 줄인다.
• 비용 계산 단계의 내부 루프에서의 병렬화는 가능하고 효과적이며, 특히 큰 N에 대해서는 유의미한 성능 향상을 이룬다. 이는 비교적 복잡도를 변화시키지 않는다.
• K=1 및 α>1일 경우, 2차원 파레토 프론트가 볼록 또는 오목할 경우 문제는 O(N log N) 시간 내에 해결 가능하다.