[논문 리뷰] $K(\\pi,1)$ and word problems for infinite type Artin-Tits groups, and applications to virtual braid groups

Eddy Godelle, Luis Paris|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 무한성 자유 파라보릭 부분군이 단순화 가능한 경우, 무한형 아르틴-티츠 군이 단순화 가능한 단어 문제를 갖는다는 것을 증명하고, 그들의 보편 피복에 대한 카르테시안(0) 큐브 복합체 모델을 구성한다. 이러한 결과를 적용하여 가상 브레인 군 $VB_n$이 단순화 가능한 단어 문제를 갖으며, 가상 코hom로지컬 차원이 $n-1$임을 증명함으로써 브레인 군 이론에서 핵심적인 구조적 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Let $\\Gamma$ be a Coxeter graph, let $(W,S)$ be its associated Coxeter system, and let $(A,\\Sigma$) be its associated Artin-Tits system. We regard $W$ as a reflection group acting on a real vector space $V$. Let $I$ be the Tits cone, and let $E_\\Gamma$ be the complement in $I +iV$ of the reflecting hyperplanes. Recall that Charney, Davis, and Salvetti have constructed a simplicial complex $\\Omega(\\Gamma)$ having the same homotopy type as $E_\\Gamma$. We observe that, if $T \\subset S$, then $\\Omega(\\Gamma_T)$ naturally embeds into $\\Omega (\\Gamma)$. We prove that this embedding admits a retraction $\\pi_T: \\Omega(\\Gamma) \ o \\Omega (\\Gamma_T)$, and we deduce several topological and combinatorial results on parabolic subgroups of $A$. From a family $\\SS$ of subsets of $S$ having certain properties, we construct a cube complex $\\Phi$, we show that $\\Phi$ has the same homotopy type as the universal cover of $E_\\Gamma$, and we prove that $\\Phi$ is CAT(0) if and only if $\\SS$ is a flag complex. We say that $X \\subset S$ is free of infinity if $\\Gamma_X$ has no edge labeled by $\\infty$. We show that, if $E_{\\Gamma_X}$ is aspherical and $A_X$ has a solution to the word problem for all $X \\subset S$ free of infinity, then $E_\\Gamma$ is aspherical and $A$ has a solution to the word problem. We apply these results to the virtual braid group $VB_n$. In particular, we give a solution to the word problem in $VB_n$, and we prove that the virtual cohomological dimension of $VB_n$ is $n-1$.

연구 동기 및 목표

• 무한형 아르틴-티츠 군의 파라보릭 부분군을 분석하여, 그들이 단순화 가능한 단어 문제를 갖는 조건을 설정하는 것.
• 티츠 콘의 반사 초평면의 여집합에 대한 보편 피복에 대한 카르테시안(0) 큐브 복합체 모델을 구성하는 것.
• 가상 브레인 군 $VB_n$이 단순화 가능한 단어 문제를 갖으며, 가상 코호몰로지 차원이 $n-1$임을 증명하는 것.
• 가상 브레인 군과 관련된 코x터 그래프의 특정 부분그래프에 대해 $K(\pi,1)$ 추측을 검증하는 것.

제안 방법

• 티츠 콘의 반사 초평면의 여집합 $E_\Gamma$와 호모토피적으로 동치인 단체 복합체 $\Omega(\Gamma)$를 구성하는 것.
• 각 부분집합 $T \subset S$에 대해 $\pi_T: \Omega(\Gamma) \to \Omega(\Gamma_T)$의 리트랙션을 정의하여, 파라보릭 부분군에 대한 위상적 제어를 가능하게 하는 것.
• 집합 $S$의 부분집합들로 이루어진 가족 $\mathcal{S}$로부터 큐브 복합체 $\Phi$를 구축하고, $\Phi$가 $E_\Gamma$의 보편 피복과 같은 호모토피 유형을 갖는다는 것을 보이는 것.
• $\mathcal{S}$가 플래그 복합체일 때에만 $\Phi$가 카르테시안(0)임을 증명하여, 조합론과 음의 곡률을 연결하는 것.
• 모든 $X \subset S$가 무한성을 갖지 않는 경우 $A_X$가 단어 문제를 해결할 수 있음을 이용하여, $A$도 단어 문제를 해결할 수 있음을 유도하는 것.
• 가상 브레인 군 $VB_n$에 결과를 적용하기 위해, 그 아르틴-티츠 체계를 코x터 그래프 $\Gamma_{VB,n}$와 연관시키고, 파라보릭 부분군에 대한 조건을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코x터 그래프 $\Gamma$에 어떤 조건이 성립하면, 관련된 아르틴-티츠 군 $A$가 반드시 단순화 가능한 단어 문제를 갖는가?
• RQ2 보편 피복의 $E_\Gamma$가 카르테시안(0) 큐브 복합체와 호모토피적으로 동치일 때는 언제인가?
• RQ3 $\Gamma_{VB,n}$이 가상 브레인 군 $VB_n$과 관련된 코x터 그래프일 때, $K(\pi,1)$ 추측이 성립하는가?
• RQ4 가상 브레인 군 $VB_n$의 가상 코호몰로지 차원은 얼마인가?

주요 결과

• 가상 브레인 군 $VB_n$은 그 아르틴-티츠 체계의 모든 무한성 자유 파라보릭 부분군에서 단어 문제의 해결 가능성을 통해 단순화 가능한 단어 문제를 갖는다.
• 가상 브레인 군 $VB_n$의 가상 코호몰로지 차원은 $n-1$이며, 순수 부분군 $K_n$에 대해 치수 $n-1$의 분류 공간을 구성함으로써 이를 입증한다.
• 순수 가상 브레인 군 $K_n$은 치수 $n-1$의 분류 공간을 갖으며, 그 코호몰로지 차원은 정확히 $n-1$이다. 이는 그것이 토션 자유이고 FP 유형임을 확인한다.
• $\Gamma_{VB,n}$ 코x터 그래프는 $K(\pi,1)$ 유형이며, 즉 $E_{\Gamma_{VB,n}}$은 $K(CA_{\Gamma_{VB,n}},1)$ 공간이다. 이는 이 클래스에 대한 $K(\pi,1)$ 추측을 지지한다.
• 무한성 자유 부분집합의 가족과 관련된 큐브 복합체 $\Phi$는 그 가족이 플래그 복합체를 이룰 때에만 카르테시안(0)이 되며, 이는 음의 곡률에 대한 조합론적 기준을 제공한다.