[논문 리뷰] $k$-quasi planar graphs

Andrew Suk|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 06.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순한 $k$-준평면 그래프의 간선 수에 대한 새로운 상계를 확립하며, $n$개 정점을 가진 이러한 그래프는 최대 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$개의 간선을 가진다고 보여준다. 여기서 $\alpha(n)$은 역 Ackermann 함수이며 $c_k$는 $k$에만 의존하는 상수이다. 이 결과는 일반화된 Davenport-Schinzel 수열과 $x$-단조 증가 곡선을 가진 위상 그래프에서의 간선 교차 구조 분석을 통해 이전의 상계를 향상시킨다.

ABSTRACT

A topological graph is \emph{$k$-quasi-planar} if it does not contain $k$ pairwise crossing edges. A topological graph is \emph{simple} if every pair of its edges intersect at most once (either at a vertex or at their intersection). In 1996, Pach, Shahrokhi, and Szegedy \cite{pach} showed that every $n$-vertex simple $k$-quasi-planar graph contains at most $O(n(\log n)^{2k-4})$ edges. This upper bound was recently improved (for large $k$) by Fox and Pach \cite{fox} to $n(\log n)^{O(\log k)}$. In this note, we show that all such graphs contain at most $(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$ edges, where $α(n)$ denotes the inverse Ackermann function and $c_k$ is a constant that depends only on $k$.

연구 동기 및 목표

• 단순한 $k$-준평면 그래프의 간선 수에 대한 기존 상계를 향상시키는 것.
• 간선 수의 상계를 개선하여 $x$-단조 증가 위상 그래프의 결과를 단순하지 않은 그래프로 확장하는 것.
• 일반화된 Davenport-Schinzel 수열을 사용해 위상 그래프의 금지된 교차 패턴을 분석하는 것.
• 구조적 그래프 분해와 교차 수 추론을 통해 간선 수 상계에서 $k$에 대한 의존도를 정밀화하는 것.

제안 방법

• 금지된 교차 패턴을 모델링하기 위해 up-down-up 유형의 일반화된 Davenport-Schinzel 수열을 사용한다.
• up-down-up$(l)$ 부분수열을 피하는 $l$-정규 수열에 대한 보조정리 2.2를 적용하여 수열 길이를 상계한다.
• 간선 교차 수를 교차 수와 차수 합을 통해 상계하기 위해 정점 집합의 이분할 기반 분해를 시행한다.
• 간선 교차로부터 유도된 비순서 그래프에서 큰 독립 집합을 찾기 위해 Dilworth의 정리를 적용한다.
• 수직선 $L$과의 교차를 기준으로 간선을 순서화하여 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 수열 $S_1$과 $S_2$를 정의한다.
• 모순을 이용해 $S_1$과 $S_2$가 up-down-up$(k^3+2)$ 유형의 부분수열을 포함할 수 없음을 보여, 수열 길이가 유계임을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순한 $k$-준평면 그래프가 $n$개의 정점을 가질 때 간선 수의 최댓값은 얼마인가?
• RQ2 서열 이론적 방법을 사용해 $k$-준평면 그래프의 간선 수 상계를 다항로그 인자 이외의 요소로 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 $x$-단조 증가 위상 그래프의 단순성 조건을 완화할 경우 상계는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 역 Ackermann 함수는 $k$-준평면 그래프에서 간선 수의 점근적 성장에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 단순한 $k$-준평면 그래프가 $n$개의 정점을 가질 때 간선 수의 최댓값은 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$ 이하이며, 여기서 $c_k$는 $k$에만 의존하는 상수이다.
• $x$-단조 증가 위상 그래프(일반적으로 단순하지는 않음)의 경우 간선 수 상한은 절대 상수 $c$에 대해 $2^{ck^3}n\log n$ 이하이다.
• 증명은 수직선과 교차하는 간선 끝점의 수열이 up-down-up$(k^3+2)$ 유형의 부분수열을 포함할 수 없음을 보여, 이는 수열 길이를 유계로 둔다는 데 핵심적이다.
• Fox와 Pach의 이전 결과보다, 특히 큰 $k$에 대해 역 Ackermann 함수를 지수부에 포함시켜 상계를 향상시켰다.
• 이 결과는 조합적 서열 이론을 활용해 $k$-준평면 그래프에서의 극한 행동에 대한 보다 정교한 이해를 확인한다.