[논문 리뷰] K-theoretic Hall algebras for quivers with potential

Tudor Pădurariu|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임계점의 특이성 카테고리와 함께 잠재력이 있는 퀼레에 대한 K-이론 홀 알제브라(KHA)를 도입하고, 그에 대한 펄스 필터링을 수립하여 그 관련 군이 대칭 대수의 변형임을 보이며, PBW 유형 정리를 증명한다. 또한 KHA와 코homological Hall 알제브라(CoHA) 사이의 카르누스 특성형 사상(Chern character isomorphism)을 구축하고, 삼중화 퀄레 (eQ, fW)의 경우 KHA가 양의 부분을 갖는 양자 아핀 대수 Uq(c gQ)를 실현함을 증명하며, 나카지마의 기하적 구성법을 K-이론으로 일반화한다.

ABSTRACT

Given a quiver with potential $(Q,W)$, Kontsevich-Soibelman constructed a Hall algebra on the cohomology of the stack of representations of $(Q,W)$. As shown by Davison-Meinhardt, this algebra comes with a filtration whose associated graded algebra is supercommutative. A special case of this construction is related to work of Nakajima, Varagnolo, Maulik-Okounkov etc. about geometric constructions of Yangians and their representations; indeed, given a quiver $Q$, there exists an associated pair $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ for which the CoHA is conjecturally the positive half of the Yangian $Y_{ ext{MO}}(\mathfrak{g}_Q)$. The goal of this article is to extend these ideas to K-theory. More precisely, we construct a K-theoretic Hall algebra using category of singularities, define a filtration whose associated graded algebra is a deformation of a symmetric algebra, and compare the $ ext{KHA}$ and the $ ext{CoHA}$ using the Chern character. As before, we expect our construction for the special class of quivers $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ to recover the positive part of quantum affine algebra $U_q(\hat{\mathfrak{g}_Q})$ defined by Okounkov-Smirnov, but for general pairs $(Q,W)$ we expect new phenomena.

연구 동기 및 목표

• 잠재력이 있는 퀄레에 대해 코homological Hall 알제브라(CoHA) 구성법을 K-이론으로 확장한다.
• 임계점의 특이성 카테고리와 함께 K-이론 홀 알제브라(KHA)를 정의한다.
• KHA에 대해 펄스 필터링을 수립하고, 그 관련 군이 대칭 대수의 변형임을 보인다.
• KHA에 대해 PBW 유형 정리를 증명하고, 이를 BPS 리 대수와 연결한다.
• 삼중화 퀄레 (eQ, fW)의 경우 KHA가 양자 아핀 대수 Uq(c gQ)의 양의 부분을 실현함을 보이며, 기존의 기하적 구성법을 일반화한다.

제안 방법

• 표현 스택 위에서 Tr(W)의 임계점의 특이성 카테고리의 그로텐디에크 군으로 KHA를 구성한다.
• 코arse 모듈리 공간 사상에 의해, 코homological 경우와 유사하게 KHA에 대해 펄스 필터링을 정의한다.
• K-이론적 PBW 정리를 통해, KHA의 관련 군이 도수 1 부분과 H*(BC*)의 텐서곱인 대칭 대수와 동형임을 증명한다.
• 차원 감소와 카르누스 특성형 사상을 사용하여 KHA와 CoHA를 연결하고, 카르누스 특성형 사상이 K-이론적 BPS 리 대수에서 코homological BPS 리 대수로의 전사 사상임을 보인다.
• 프레임드 퀄레 스택을 이용한 컨볼루션을 통해 KHA의 표현을 나카지마 퀄레 다양체의 K-이론 위에 구성한다.
• 이 형식을 조르단 퀄레와 삼중화 퀄레 (eQ, fW)에 적용하여, KHA가 Hilb(C^3, d)의 K-이론 위에 작용하고, Uq(c gQ)의 양의 부분을 복원함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코homological Hall 알제브라 구성법은 어떻게 잠재력이 있는 퀄레에 대해 K-이론으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 특이성 카테고리에 의해 정의된 K-이론 홀 알제브라(KHA)의 구조는 무엇인가?
• RQ3 KHA는 펄스 필터링을 갖는가? 만약 그렇다면, 그 관련 군은 대칭 대수의 변형인가? 그리고 그 PBW 유형의 구조는 무엇인가?
• RQ4 카르누스 특성형 사상은 KHA와 코homological Hall 알제브라(CoHA) 사이에 어떻게 연결되는가?
• RQ5 삼중화 퀄레 (eQ, fW)의 경우 KHA는 추측된 linh-형식으로 Uq(c gQ)의 양의 부분을 복원하는가?

주요 결과

• 잠재력이 있는 퀄레 (Q, W)에 대해 KHA는 Tr(W)의 임계점의 특이성 카테고리의 그로텐디에크 군으로 정의되며, CoHA에 대한 K-이론적 유사체를 제공한다.
• KHA는 펄스 필터링을 갖으며, 그 관련 군 대수는 도수 1 부분과 H*(BC*)의 텐서곱인 대칭 대수와 동형이 되며, 이는 PBW 유형 정리를 수립한다.
• 카르누스 특성형 사상은 K-이론적 BPS 리 대수에서 코homological BPS 리 대수로의 전사 사상이며, (eQ, fW)의 경우 이 사상은 동형이다.
• 삼중화 퀄레 (eQ, fW)의 경우 KHA는 양자 아핀 대수 Uq(c gQ)의 양의 부분과 동형이며, CoHA에 대해 추측된 바와 일치한다.
• KHA는 나카지마 퀄레 다양체의 K-이론 위에 자연스럽게 작용하며, 이는 프레임드 퀄레 스택 위의 컨볼루션을 통해 구성된다.
• 조르단 퀄레의 경우 KHA는 Hilb(C^3, d)의 K-이론 위에 작용하며, KHA는 양자 아핀 대수 Uq(c gl1)의 양의 부분과 동형이다.