[논문 리뷰] $K$-theory and logarithmic Hodge-Witt sheaves of formal schemes in characteristic $p$

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$에서 Geisser–Levine 및 Bloch–Kato–Gabber 정리의 proปัจจุบัน 버전을 확립하여, 정칙 $\mathbb{F}_p$-대수의 이상의 거듭제곱에 대한 모듈로 $p^r$ pro $K$-군이 형식 스킴 위의 로그 허지–위트 층과 동형임을 보여준다. 핵심 결과는 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s \simeq \{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$의 동형이며, 이는 전통적인 $K$-이론 동형을 위상수학적 순환 호모로지와 드 라무–위트 이론을 통해 형식 스킴로 확장한다.

ABSTRACT

We describe the mod $p^r$ pro $K$-groups $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ of a regular local $\mathbb F_p$-algebra $A$ modulo powers of a suitable ideal $I$, in terms of logarithmic Hodge-Witt groups, by proving pro analogues of the theorems of Geisser-Levine and Bloch-Kato-Gabber. This is achieved by combining the pro Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem in topological cyclic homology with the development of the theory of de Rham-Witt complexes and logarithmic Hodge-Witt sheaves on formal schemes in characteristic $p$. Applications include the following: the infinitesimal part of the weak Lefschetz conjecture for Chow groups; a $p$-adic version of Kato-Saito's conjecture that their Zariski and Nisnevich higher dimensional class groups are isomorphic; continuity results in $K$-theory; and criteria, in terms of integral or torsion étale-motivic cycle classes, for algebraic cycles on formal schemes to admit infinitesimal deformations. Moreover, in the case $n=1$, we compare the étale cohomology of $W_rΩ^1_ ext{log}$ and the fppf cohomology of $\mathbfμ_{p^r}$ on a formal scheme, and thus present equivalent conditions for line bundles to deform in terms of their classes in either of these cohomologies.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$에서 매끄러운 다양체에 대해 이전에 성립했던 전통적인 $K$-이론 동형을 정칙 형식 스킴의 맥락으로 확장하기 위해.
• 무한소 두르개에 대한 미르놀 $K$-이론, $K$-이론, 그리고 로그 허지–위트 군 간의 동형에 대한 프로 버전을 확립하기 위해.
• 특성 $p$에서 $\mathbb{F}_p$-대수 위의 형식 스킴에 대한 드 라무–위트 복합체와 로그 허지–위트 층의 이론을 개발하기 위해.
• 이 결과를 $K$-이론 연속성, 사이클 클래스 변형, 약한 레프셰츠 추측 문제에 적용하기 위해.
• 선형 배럴의 $W_r\Omega^1_{\text{log}}$ 및 $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$의 에탈 코hom로지와 fppf 코호몰로지 간의 비교를 제공하며, 선형 배럴의 변형 조건을 제시하기 위해.

제안 방법

• 위상수학적 순환 호모로지에서의 프로 Hochschild–Kostant–Rosenberg 정리를 사용하여 $K$-이론과 미분 형식을 연결하기 위해.
• $\mathbb{F}_p$-대수 위의 형식 스킴에 대한 드 라무–위트 복합체와 로그 허지–위트 층의 이론을 개발하기 위해.
• 카르티에 동형과 정칙 형식 스킴에 대한 드 라무–위트 복합체의 $p$-필터레이션을 적용하기 위해.
• 미르놀 $K$-이론에서 로그 허지–위트 층으로의 형식적 dlog 사상의 구축과 그 프로 성질 분석하기 위해.
• 코herent 대칭과 아르틴–리스 성질을 사용하여 자라이스키 및 에탈 위상에서의 코호몰로지 소멸을 제어하기 위해.
• 5-보조정리와 호모토피 카르테시안 정사각형을 사용하여 $K$-이론과 로그 허지–위트 층의 연속 코호몰로지 간 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전통적인 $K$-이론, 미르놀 $K$-이론, 허지–위트 군 간의 동형은 어떻게 특성 $p$에서의 형식 스킴로 확장될 수 있는가?
• RQ2 정칙 $\mathbb{F}_p$-대수의 이상의 거듭제곱에 대한 프로 $K$-이론은 무엇이며, 로그 허지–위트 층과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 형식 스킴 위의 대수적 사이클은 어떤 조건에서 무한소 변형을 가지며, 이를 어떻게 에탈-모티브 사이클 클래스를 통해 감지할 수 있는가?
• RQ4 선형 배럴 위의 형식 스킴에서 $W_r\Omega^1_{\text{log}}$의 에탈 코호몰로지와 $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$의 fppf 코호몰로지는 어떻게 비교되며, 어떤 조건에서 동일한가?
• RQ5 $K$-이론은 특성 $p$에서 어떤 연속성 성질을 가지며, 크리스탈린 코호몰로지와는 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 정칙이며 $F$-유한한 $\mathbb{F}_p$-대수 $A$와 이상 $I$에 대해, $A/I$가 gnc이자 국소적이라면 프로 아벨 군 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$는 $\{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$와 동형이다.
• $\{K_n^M(A/I^s)/p^r\}_s \to \none{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ 사상의 핵은 제어 가능하며, $I$가 주도적이고 $A/I$가 정칙일 경우 소멸한다.
• 짧은 정확한 수열이 다음과 같이 확립된다: $0 \to \{\mathbb{W}_s\Omega_R^{n-1}/p^r\}_s \xrightarrow{\text{dlog} \circ \gamma_n} \{W_r\Omega_{R[t]/t^s,\text{log}}^n\}_s$, 이는 상대적 및 절대적 허지–위트 군을 연결한다.
• $H^i_{\text{Zar}}(Y, \{\mathcal{K}_{n,Y_s}\}) \to H^i_{\text{Zar}}(Y, \mathcal{K}_{n,Y})$의 사상은 $i+n < d-1$이면 핵과 여부가 $p$의 거듭제곱에 의하여 소멸하며, 이는 $K$-이론의 연속성을 암시한다.
• $H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y_s,\text{log}}^n\}_s) \to H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y,\text{log}}^n\}_s)$의 비교 사상은 $i+n < d-1$일 경우 핵과 여부가 $p$의 거듭제곱에 의하여 소멸하며, 이는 에탈 코호몰로지와 연속 코호몰로지를 연결한다.
• 프로 $K$-이론과 로그 허지–위트 층 간의 동형을 통해, 무한소 맥락에서 샤우 군에 대한 약한 레프셰츠 추측이 증명된다.