[논문 리뷰] K-theory of group Banach algebras and Banach property RD

Benben Liao, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 초등형군, 반단순 리군의 격자, 다항식 성장성을 갖는 군 등 넓은 범주의 군에 대해, $B^p_r(G)$가 $L^p(G)$ 위의 콘볼루션 연산자로 구성된 군 바나흐 대수일 때, $p \in [1,\infty]$에 대해 $K$-이론이 $p$에 독립적임을 증명한다. 이는 군이 바나흐 형태의 빠른 감쇠 성질($(RD)_q$)을 만족할 경우에 해당한다. 핵심 메커니즘은 $*$-닫힘 부분대수 $B^{p,*}_r(G)$가 해석함수 해석법에 대해 닫혀 있음을 보여, 이로 인해 다양한 $p$에 대해 $K$-이론에서 동형을 유도함으로써, $C^*$-대수 $K$-이론으로 향하는 보간 및 반연속성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We investigate Banach algebras of convolution operators on the $L^p$ spaces of a locally compact group, and their K-theory. We show that for a discrete group, the corresponding K-theory groups depend continuously on $p$ in an inductive sense. Via a Banach version of property RD, we show that for a large class of groups, the K-theory groups of the Banach algebras are independent of $p$.

연구 동기 및 목표

• $L^p$ 군 바나흐 대수 $B^p_r(G)$의 $K$-이론 군이 지수 $p$에 어떻게 의존하는지 조사한다.
• Baum-Connes 및 Bost 추측을 $L^p$ 설정으로 일반화하기 위해 $K_*(B^p_r(G))$가 $p$에 독립적인 조건을 확립한다.
• 연산자 노름과 $K$-이론 불변성을 제어하기 위해 $(RD)_q$로 표기되는 바나흐 대수 버전의 빠른 감쇠 성질을 도입하고 활용한다.
• $*$-닫힘 대수 $B^{p,*}_r(G)$가 $K$-이론 정보를 유지하고 다양한 $p$ 간의 보간을 가능하게 함을 보여준다.
• $p>2$에 대해 $K_*(C^*_r(G))$가 $K_*(B^{p,*}_r(G))$의 귀납적 극한으로 나타남을 증명함으로써, $p \to 2$ 근처에서의 반연속성을 확립한다.

제안 방법

• 모든 $C_c(G)$의 완비화를 $L^p(G)$ 위에서의 연산자 노름에 대해 하여 $B^p_r(G)$를 정의하고, $\|f\|_{B^{p,*}_r(G)} = \max\{\|f\|_{B(L^p)}, \|f^*\|_{B(L^p)}\}$에 의한 완비화를 통해 $B^{p,*}_r(G)$를 정의한다.
• 빠른 감쇠의 바나흐 대수 변형인 성질 $(RD)_q$를 도입하여, $l$을 길이 함수로 하여 어떤 $s>0$에 대해 $\|f\|_{B(L^p)} \lesssim \|f(1+l)^s\|_{L^q(G)}$를 만족함을 보장한다.
• 해석함수 해석법을 사용하기 위해, 반복 도함수 $\delta^k$의 정의역의 교집합으로 정의된 매끄러운 벡터 공간 $S^\infty_q(G)$를 고려하여, $B^{p,*}_r(G)$와 $B^p_r(G)$의 $K$-이론이 서로 동형임을 보인다.
• 모든 $2 \leq p < p' \leq \infty$에 대해 $i_{p',p}: B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$라는 자연스러운 준동형사상을 구성함으로써, 다양한 대수 간의 보간을 가능하게 한다.
• Lafforgue의 작업에서 유래한 무조건적 완비화 및 조립 사상들을 적용하여, $p>2$일 때 $K_*(B^{p,*}_r(G))$가 안정화됨을 보이고, 이로 인해 $K_*(C^*_r(G))$의 귀납적 극한 기술을 도출한다.
• 표현 $|e^{itl(x)} - 1| \leq Ct$를 이용한 조밀성 및 노름 추정을 활용하여, 한 매개변수 자동형사상 $a_t: T \mapsto e^{itl} T e^{-itl}$의 강한 연속성을 증명하고, 이의 생성자인 $\delta$가 매끄러운 벡터 분석에서 사용되는 도함수를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 군에 대해, 특히 $p \in [1,\infty]$ 범위에서 $B^p_r(G)$의 $K$-이론이 $p$에 의존하는가?
• RQ2 모든 $p \geq 2$에 대해, $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$의 자연스러운 준동형사상이 $K$-이론에서 동형인가?
• RQ3 $p>2$에 대해 $K_*(C^*_r(G))$가 $K_*(B^{p,*}_r(G))$의 귀납적 극한으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 바나흐 성질 $(RD)_q$는 $B^p_r(G)$의 $K_*$-독립성을 $p$ 전반에 걸쳐 보장하는가?
• RQ5 성질 $RD$를 갖는 군이지만 어떤 $q \in (1,2)$에 대해 $(RD)_q$를 만족하지 못하는 군이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 이산 군 $G$가 성질 $(RD)_q$를 만족할 경우, $1/p + 1/q = 1$일 때 $B^{p,*}_r(G)$와 $B^p_r(G)$의 $K$-이론은 자연스럽게 동형이다.
• $*$-닫힘 대수 $B^{p,*}_r(G)$는 해석함수 해석법에 대해 닫혀 있으므로, 포함 사상 $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$에 의해 $K$-이론이 유지된다.
• $2 \leq p < p' \leq \infty$에 대해, $G$가 $p$의 쌍대 $q$에 대해 $(RD)_q$를 만족할 경우, $i_{p',p}: B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$는 $K$-이론에서 동형을 유도한다.
• 유한 생성 군 $G$에 대해, $K_*(C^*_r(G))$는 $p>2$에 대해 $K_*(B^{p,*}_r(G))$의 귀납적 극한이며, 즉 $K_*(C^*_r(G)) = \bigcup_{p>2} i^*_{p,2}(K_*(B^{p,*}_r(G)))$이다.
• Lafforgue의 C’ 클래스에 속하고 $q \in [1,2]$에 대해 $(RD)_q$ 성질을 갖는 군에 대해, $B^p_r(G)$의 $K$-이론은 $p \in [1,\infty]$에 대해 독립적이다. 이는 $p=1$, $p=2$, $p=\infty$를 포함한다.
• 도함수 $\delta$에 대한 매끄러운 벡터 공간 $S^\infty_q(G)$는 $B^p_r(G)$, $B^q_r(G)$, $B^{p,*}_r(G)$에서 $\delta^k$의 정의역의 교집합과 일치하며, 이는 다양한 $p$-공간 간에 해석함수 해석법을 적용할 수 있게 한다.