[논문 리뷰] $K$-theory of Leavitt path algebras

Pere Ara, Miquel Brustenga외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 31인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 행렬이 유한한 화살표 그래프 $E$에 대해 $L_R(E)$의 대수적 $K$-이론에서 장기적인 정확한 수열을 수립한다. 이 수열은 행렬 $1 - N_E^t$ 를 통해 $K_n(L_R(E))$ 와 $K_n(R)$ 를 연결한다. 노에터 정칙 환 또는 안정적인 $C^*$-대수의 경우 이 수열이 정확하다는 것을 보이며, 특정 조건 하에서 대수적 $K$-이론 $L_{rak{A}}(E)$ 는 위상적 $K$-이론 $C^*_{rak{A}}(E)$ 와 일치한다. 이 조건은 $rak{A}$ 가 안정적이거나 $rak{A} = bC$ 이고 $ ext{det}(1 - N_E^t) eq 0$ 일 때 포함된다. 본 결과는 이러한 대수에 대한 대수적 및 위상적 $K$-이론 불변량을 일반화하고 통합한다.

ABSTRACT

Let $E$ be a row-finite quiver and let $E_0$ be the set of vertices of $E$; consider the adjacency matrix $N'_E=(n_{ij})\in\Z^{(E_0 imes E_0)}$, $n_{ij}=#\{$ arrows from $i$ to $j\}$. Write $N^t_E$ and 1 for the matrices $\in \Z^{(E_0 imes E_0\setminus\Sink(E))}$ which result from $N'^t_E$ and from the identity matrix after removing the columns corresponding to sinks. We consider the $K$-theory of the Leavitt algebra $L_R(E)=L_\Z(E)\otimes R$. We show that if $R$ is either a Noetherian regular ring or a stable $C^*$-algebra, then there is an exact sequence ($n\in\Z$) \[ K_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow} K_n(R)^{(E_0)} o K_n(L_R(E)) o K_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also show that for general $R$, the obstruction for having a sequence as above is measured by twisted nil-$K$-groups. If we replace $K$-theory by homotopy algebraic $K$-theory, the obstructions dissapear, and we get, for every ring $R$, a long exact sequence \[ KH_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow}KH_n(R)^{(E_0)} o KH_n(L_R(E)) o KH_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also compare, for a $C^*$-algebra $\fA$, the algebraic $K$-theory of $L_\fA(E)$ with the topological $K$-theory of the Cuntz-Krieger algebra $C^*_\fA(E)$. We show that the map \[ K_n(L_\fA(E)) o K^{ op}_n(C^*_\fA(E)) \] is an isomorphism if $\fA$ is stable and $n\in\Z$, and also if $\fA=\C$, $n\ge 0$, $E$ is finite with no sinks, and $\det(1-N_E^t) e 0$.

연구 동기 및 목표

• 행렬이 유한한 화살표 그래프 $E$ 와 관련된 Leavitt 경로 대수 $L_R(E)$ 에 대해 대수적 $K$-이론에서 장기적인 정확한 수열을 수립하는 것.
• 일반적인 환 $R$ 에 대해 이 수열의 정확성에 대한 장애 요소를 비틀린 nil-$K$-군의 용어로 규명하는 것.
• 노에터 정칙 환 또는 안정적인 $C^*$-대수의 경우 장애 요소가 사라지며, 완전한 정확한 수열이 얻어진다는 것을 보이는 것.
• C*-대수 $rak{A}$ 에 대해 $L_{rak{A}}(E)$ 의 대수적 $K$-이론과 Cuntz-Krieger 대수 $C^*_{rak{A}}(E)$ 의 위상적 $K$-이론을 비교하는 것.
• $rak{A}$ 가 안정적이거나 $rak{A} = bC$ 이고 $ ext{det}(1 - N_E^t) eq 0$ 일 때, 비교 사상 $K_n(L_{rak{A}}(E)) o K^{ m top}_n(C^*_{rak{A}}(E))$ 가 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• 기대되는 $K$-이론 수열을 모델링하기 위해, $C = ext{hocofiber}(K(R)^{(E_0 ackslash ext{Sink}(E))} o K(R)^{(E_0)})$ 의 호모토피 코프라이어 구조를 사용하는 것.
• 특히 Suslin 과 Wodzicki 의 퇴화 정리들을 적용하여, $K$-이론이 환의 확장 하에서 어떻게 행동하는지 분석하는 것.
• 특히 비틀린 다항식 환의 맥락에서 $K$-이론이 퇴화 조건을 만족하는 환을 기술하기 위해 $H'$-유니탈리티와 $H$-유니탈리티를 도입하는 것.
• 모든 경우에 대해 퇴화를 만족하는 $KH_*$ 를 사용하여 장애 요소를 제거하는 것.
• 자연스러운 비교 사상 $ ho_n: K_n(L_{rak{A}}(E)) o K^{ m top}_n(C^*_{rak{A}}(E))$ 를 구성하고 핵심 케이스에서 그 동형성을 증명하는 것.
• 안정적인 $C^*$-대수와 그들의 텐서곱의 $K$-정규성에 기반하여, $K$-이론과 $KH$-이론이 일치함을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 Leavitt 경로 대수 $L_R(E)$ 의 $K$-이론이 $K_n(R)$ 과 행렬 $1 - N_E^t$ 를 포함하는 장기적인 정확한 수열에 들어갈 수 있는가?
• RQ2 일반적인 환 $R$ 에 대해 이러한 장기적인 정확한 수열의 장애 요소의 성격은 무엇인가?
• RQ3 언제 $L_{rak{A}}(E)$ 의 대수적 $K$-이론이 Cuntz-Krieger 대수 $C^*_{rak{A}}(E)$ 의 위상적 $K$-이론과 일치하는가?
• RQ4 안정적인 $C^*$-대수 $rak{A}$ 에 대해 비교 사상 $K_n(L_{rak{A}}(E)) o K^{ m top}_n(C^*_{rak{A}}(E))$ 가 동형인지 여쭙는 것.
• RQ5 $rak{A} = bC$ 이고 $ ext{det}(1 - N_E^t) eq 0$ 일 때, 대수적 및 위상적 $K$-이론 간의 동형관계가 유지되는가?

주요 결과

• 모든 행렬이 유한한 화살표 그래프 $E$ 와 환 $R$ 에 대해, 호모토피 대수적 $K$-이론에서 장기적인 정확한 수열이 존재한다: $KH_n(R)^{(E_0 ackslash ext{Sink}(E))} o KH_n(R)^{(E_0)} o KH_n(L_R(E)) o KH_{n-1}(R)^{(E_0 ackslash ext{Sink}(E))}$.
• 만약 $R$ 가 노에터 정칙 환 또는 안정적인 $C^*$-대수이면, 비틀린 nil-$K$-군이 사라지며, 수열 $K_n(R)^{(E_0 ackslash ext{Sink}(E))} o K_n(R)^{(E_0)} o K_n(L_R(E)) o K_{n-1}(R)^{(E_0 ackslash ext{Sink}(E))}$ 는 정확해진다.
• 만약 $R = bC$, $E$ 가 유한하고 싱크가 없으며, $ ext{det}(1 - N_E^t) eq 0$ 이면, 모든 $n \neq 0$ 에 대해 비교 사상 $K_n(L_{bC}(E)) \to K^{ m top}_n(C^*_{b{C}}(E))$ 는 동형이다.
• 모든 안정적인 $C^*$-대수 $rak{A}$ 에 대해, 모든 $n \neq 0$ 에 대해 사상 $K_n(L_{rak{A}}(E)) \to K^{ m top}_n(C^*_{rak{A}}(E))$ 는 동형이다.
• 안정적인 $C^*$-대수와 그들의 텐서곱의 $K$-정규성 덕분에 $K$-이론과 $KH$-이론이 일치함을 보장하며, 이는 대수적 $K$-이론 설정에서 정확한 수열이 유지됨을 허용한다.
• $rak{A}$ 가 안정적인 $C^*$-대수일 경우, $K$-정규성과 $K_n(rak{A}) \to K^{ m top}_n(rak{A})$ 의 동형성에 의해 비교 사상 $ ho_n: K_n(L_{rak{A}}(E)) \to K^{ m top}_n(C^*_{rak{A}}(E))$ 가 동형임을 보였다.