[논문 리뷰] K3 surfaces with maximal finite automorphism groups containing $M\_{20}$

Cédric Bonnafé, A. Sarti|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 14.

Finite Group Theory Research참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 매쓰류 군 $M_{20}$를 포함하는 최대 유한 자동형사상 군을 가진 K3 곡면을 분류하며, 정확히 세 가지가 존재함을 증명한다: Kummer 곡면 $\operatorname{Km}(E_i \times E_i)$, $\operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$, 및 $\operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$ ($\tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$). 모든 세 곡면에 대해 명시적인 방정식을 제공하고, 그들의 전이성 람다를 계산하며, 군론적 및 격자론적 추론을 통해 유일성을 확인한다.

ABSTRACT

It was shown by Mukai that the maximum order of a finite group acting faithfully and symplectically on a K3 surface is $960$ and that the group is isomorphic to the group $M\_{20}$. Then Kondo showed that the maximum order of a finite group acting faithfully on a K3 surface is $3\,840$ and this group contains the Mathieu group $M\_{20}$ with index four. Kondo also showed that there is a unique K3 surface on which this group acts faithfully, which is the Kummer surface $\Km(E\_i imes E\_i)$. In this paper we describe two more K3 surfaces admitting a big finite automorphism group of order $1\,920$, both groups contains $M\_{20}$ as a subgroup of index 2. We show moreover that these two groups and the two K3 surfaces are unique. This result was shown independently by S. Brandhorst and K. Hashimoto in a forthcoming paper, with the aim of classifying all the finite groups acting faithfully on K3 surfaces with maximal symplectic part.

연구 동기 및 목표

• 유한군 $\Gamma$가 $M_{20}$를 지니고 있으며, $[\Gamma : M_{20}] = 2$ 또는 $4$인 정규부분군으로서, $M_{20} \triangleleft \Gamma$를 만족하는 K3 곡면을 분류하는 것.
• 특히 $\Gamma$가 최대일 경우, 이러한 K3 곡면과 그 자동형사상 군의 유일성을 규명하는 것.
• 이러한 자동형사상 군을 가진 세 K3 곡면 각각의 전이성 람다를 계산하는 것.
• 이전에 알려지지 않은 두 곡면에 대해 명시적인 방정식을 제공하는 것, 특히 가중 투영 공간 내의 완전교차로 표현된 하나의 곡면을 포함하여.
• 모든 세 곡면이 복소 multiplication을 가진 타원곡선의 곱의 Kummer 곡면임을 보이는 것.

제안 방법

• 자기 작용을 분석하고 비심플렉틱 작용을 분류하기 위해 정확한열 $1 \to M_{20} \to \Gamma \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 1$ 의 활용.
• 정리 2.7의 적용을 통해 가능한 K3 곡면을 세 후보로 제한: $X_{\mathrm{Ko}}$, $X_{\mathrm{Mu}}$, $X_{\mathrm{BH}}$.
• Shioda와 Mitani의 결과를 활용한 격자론적 방법으로 각 곡면의 전이성 람다 계산.
• $X_{\mathrm{Ko}}$에 대해 Inose의 결과를 이용한 명시적 방정식 구성: $\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 내의 완전교차로 표현하며, $X_{\mathrm{BH}}$에 대해 $\mathbb{P}^5$ 상에서 $M_{20}$의 작용에 대한 철저한 분석.
• Magma를 활용한 군 작용, 궤도 구조, 및 Nikulin 구성에 의한 $X_{\mathrm{BH}}$ 상의 16개 이격된 유리곡선의 존재 확인.
• $G_{\mathrm{Ko}}$의 최대성과 $PG_{\mathrm{Mu}}$, $PG_{\mathrm{BH}}$가 $G_{\mathrm{Ko}}$의 부분군이 아니라는 점을 활용하여 세 군의 유일성을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 자동형사상 군이 $M_{20}$를 정규부분군으로 포함하고, 비심플렉틱으로 충실하게 작용하는 K3 곡면이 존재하는가?
• RQ2 이러한 자동형사상 군을 가진 가능한 K3 곡면은 무엇이며, 그들은 유일한가?
• RQ3 이 K3 곡면의 전이성 람다들은 무엇이며, 세 곡면을 어떻게 구분하는가?
• RQ4 이러한 맥락에서 이전에 알려지지 않은 두 K3 곡면에 대해 명시적인 방정식을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 곡면들은 16개의 이격된 매끄러운 유리곡선으로 이루어진 Nikulin 구성이 존재하는가, 그리고 이를 명시적으로 묘사할 수 있는가?

주요 결과

• 정규부분군으로서 $M_{20} \triangleleft \Gamma$를 가지며, $[\Gamma : M_{20}] = 2$ 또는 $4$인 유한군 $\Gamma$에 의해 충실하고 비심플렉틱으로 작용하는 K3 곡면은 정확히 세 개인다.
• 세 K3 곡면은 $X_{\mathrm{Ko}} \cong \operatorname{Km}(E_i \times E_i)$, $X_{\mathrm{Mu}} \cong \operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$, 및 $X_{\mathrm{BH}} \cong \operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$ ($\tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$)이다.
• $X_{\mathrm{Mu}}$의 전이성 람다는 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 8 \rangle$와 등급을 가지며, $X_{\mathrm{BH}}$의 전이성 람다는 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 4 \rangle$이고, $X_{\mathrm{Ko}}$의 전이성 람다는 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 40 \rangle$이다.
• $X_{\mathrm{BH}}$는 $\mathbb{P}^5$ 상에서 세 개의 이차곡면의 완전교차로 이루어진 매끄러운 곡면이며, $\mathbb{P}^5$ 상에서의 $M_{20}$ 작용으로부터 유도된 명시적 방정식을 갖는다.
• $X_{\mathrm{BH}}$ 상에서 16개의 이격된 매끄러운 유리곡선으로 이루어진 Nikulin 구성은 $\mathscr{A}$-궤도로서 명시적으로 구성되며, 여기서 $\mathscr{A}$는 순서 32의 부분군이다.
• $PG_{\mathrm{Mu}}$와 $PG_{\mathrm{BH}}$는 $G_{\mathrm{Ko}}$의 부분군이 아니며, 이는 세 K3 곡면이 서로 동형이 아니며, 그 자동형사상 군이 최대임을 확인한다.