[논문 리뷰] Kac-Moody Algebras in M-theory

Sophie de Buyl|ArXiv.org|2006. 08. 23.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 140인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 M-이론을 토러스에 컴 pactify한 경우의 저에너지 유도 작용에서 무한차원 카크-무디 대수, 특히 E10과 E11의 역할을 조사한다. 3차원으로 차원을 축소하고 형식 장을 스칼라로 쌍대화함으로써, E10과 E11 대수에 의해 결정되는 순수 스칼라 라그랑지안을 유도한다. 이는 이러한 대수가 M-이론의 전체 U-다양성 대칭을 캐릭터라이즈하고 동역학의 숨겨진 대수적 프레임워크를 제공함을 시사한다.

ABSTRACT

In this thesis, we consider several aspects of over-extended and very-extended Kac-Moody algebras in relation with theories of gravity coupled to matter. In the first part, we focus on the occurrence of KM algebras in the cosmological billiards. We analyse the billiards in the simplified situation of spatially homogeneous cosmologies. The most generic cases lead to the same algebras as those met in the general inhomogeneous case, but also sub-algebras of the "generic" ones appear. Next, we consider particular gravitational theories which, upon toroidal compactification to D=3 space-time dimensions, reduce to a theory of gravity coupled to a symmetric space non-linear sigma-model. We show that the billiard analysis gives direct information on possible dimensional oxidations (or on their obstructions) and field content of the oxidation endpoint. We also consider all hyperbolic Kac-Moody algebras and completely answer the question of whether or not a specific theory exists admitting a billiard characterised by the given hyperbolic algebra. In the second part, we turn to the set up of such gravity-matter theories through the building of an action explicitly invariant under a Kac-Moody group. As a first step to include fermions, we check the compatibility of the presence of a Dirac fermion with the (hidden duality) symmetries appearing in the toroidal compactification down to 3 space-time dimensions. Next, we investigate how the fermions (with spin 1/2 or 3/2) fit in the conjecture for hidden over-extended symmetry G++. Finally, in the context of G+++ invariant actions, we derive all the possible signatures for all the GB++ theories that can be obtained from the conventional one (1,D-1) by "dualities" generated by Weyl reflections. This generalizes the results obtained for E8++.

연구 동기 및 목표

• M-이론의 저에너지 효과적 작용에서 카크-무디 대수, 특히 E10과 E11이 어떻게 대칭으로 나타나는지 조사하기.
• 3+1차원에서 알려진 U-다양성 군이 E8이지만, 이가 낮은 차원에서 어떻게 무한차원 카크-무디 군으로 확장되는지 이해하기.
• 형식 장의 쌍대화를 통해 M-이론 작용에서 순수 스칼라 3차원 라그랑지안을 유도하고, 숨겨진 대수적 구조를 드러내기.
• 3차원 이론의 장 구성과 상호작용이 E10과 E11 대수의 루트 체계와 어떻게 대응되는지 규명하기.
• E10과 E11이 수학적 기이함이 아니라 M-이론의 기초 대칭으로서의 역할을 하는 데 대한 증거를 제공하기.

제안 방법

• 11차원 M-이론 작용을 3차원 시공간으로 차원 축소하여 스칼라 및 1형식 장만 유지하기.
• 비앙키 항등식을 위한 라그랑주 승수를 사용해 2형식 및 1형식 장을 축축한 스칼라로 변환하는 쌍대화 절차 적용하기.
• 스칼라 장의 운동에너지 항과 쌍대화된 형식에서 유도된 장 강도에 대한 지수적 결합항을 포함한 3차원 스칼라 라그랑지안 구축하기.
• 결과로 얻어진 라그랑지안의 구조를 E10과 E11 카크-무디 대수의 루트 체계와 일치시키기 위해 결합 계수와 장 구성 요소를 매칭하기.
• E10과 E11 대수를 3차원 이론의 전역 대칭으로 사용하며, 루트 격자가 스칼라 장의 전하와 결합을 캐릭터라이즈함.
• 일반화된 미분기하학과 확장된 카크-무디 대수의 관례 및 표기법을 사용하며, E10 = E8++ 및 E11 = E8+++와 같은 초과장 및 매우초과장 리 대수를 포함하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 카크-무디 대수 E10과 E11은 M-이론의 저에너지 근처에서 어떻게 대칭으로 나타나는가?
• RQ2 3차원 스칼라 라그랑지안의 장 구성과 상호작용이 E10 또는 E11의 루트 체계와 정확히 어떻게 대응되는가?
• RQ3 M-이론에서 형식 장의 쌍대화가 순수 스칼라 이론을 만들어내며, 그 대칭 대수가 E10 또는 E11이 되는가?
• RQ4 E10과 E11 대수는 낮은 차원에서 M-이론의 전체 U-다양성 대칭을 어느 정도까지 캐릭터라이즈하는가?
• RQ5 E10과 E11 대수는 표준적 컴팩티피케이션 패tern을 넘어서 M-이론의 동역학을 어떻게 정리하는가?

주요 결과

• 모든 형식 장을 쌍대화한 후, M-이론의 3차원 효과적 작용은 운동에너지 항과 지수적 상호작용 항을 포함한 순수 스칼라 라그랑지안으로 축소된다.
• 3차원 스칼라 라그랑지안의 결합 구조는 정확히 E10과 E11 카크-무디 대수의 루트 체계와 일치하며, 지수 인자들이 대수의 루트에 해당한다.
• 쌍대화된 라그랑지안의 장 강도들 — 예를 들어 $ F^{{ m (1)}}_{i_1ar i_{p-1}} $, $ G^{{ m (1)}ar i_{p-2}} $, $ { ilde{ m G}}_{{ m (1)}i} $, 및 $ { ilde{ m F}}^i_{{ m (1)}j} $ — 는 스칼라 장의 도함수로부터 유도되며, E10과 E11의 루트 공간 분해와 정확히 일치한다.
• 라그랑지안의 구조는 전역 E10 및 E11 대칭에 대해 불변이며, 이는 이러한 대수가 M-이론의 숨겨진 대칭군임을 시사한다.
• 3차원 이론에서 E10과 E11을 대칭 대수로 식별함으로써, 이들이 M-이론의 다이나믹스를 통합하는 데 핵심적인 역할을 한다는 강력한 증거를 제공한다.
• 이 논문은 M-이론의 장 구성과 E10 및 E11의 루트 체계 사이에 직접적인 연결 고리를 설정하며, E11이 M-이론의 최대 대칭 대수임을 지지하는 추측을 뒷받침한다.