[논문 리뷰] Kadec norms on spaces of continuous functions

Max Burke, Wiesław Kubiś외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 11. 29.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속 함수 공간 $C(K)$에 대한 점별 Kadec 재규약의 존재성을 확립하며, $K$가 컴팩트 선형 순서 공간들의 곱인 경우 이러한 재규약이 존재함을 증명한다. 또한 $C(K_1)$가 점별 Kadec 재규약을 가지며 $K_2$가 전순서 추적의 역극한에 대해 닫혀 있는 클래스에 속할 경우, $K_1 \times K_2$에 대해서도 이를 확장한다. 또한 Kadec 성질에 대한 삼공간 성질을 증명하여 [LZ]에서 제기된 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the existence of pointwise Kadec renormings for Banach spaces of the form $C(K)$. We show in particular that such a renorming exists when $K$ is any product of compact linearly ordered spaces, extending the result for a single factor due to Haydon, Jayne, Namioka and Rogers. We show that if $C(K_1)$ has a pointwise Kadec renorming and $K_2$ belongs to the class of spaces obtained by closing the class of compact metrizable spaces under inverse limits of transfinite continuous sequences of retractions, then $C(K_1 imes K_2)$ has a pointwise Kadec renorming. We also prove a version of the three-space property for such renormings.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 공간 $K$에 대해 $C(K)$에 점별 Kadec 재규약의 존재성을 조사한다.
• 기존의 단일 컴팩트 선형 순서 공간에 대한 Kadec 재규약 결과를 이러한 공간들의 임의의 곱으로 확장한다.
• 만약 $C(K_1)$가 점별 Kadec 재규약을 가지며 $K_2$가 특정한 컴팩트 공간의 클래스에 속할 경우, $C(K_1 \times K_2)$가 점별 Kadec 재규약을 가질 수 있는 조건을 수립한다.
• $[LZ]$에서 제기된 문제를 해결하기 위해 Kadec 성질에 대한 삼공간 성질을 증명하며, Kadec-Klee 조건을 더 약한 Kadec 조건으로 대체한다.
• 곱공간과 쌍대공간에서 노름-SLD와 점별 Kadec 재규약 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 점별 $\tau_p$-Kadec 재규약을 특징짓는 것은, 국소 노름 지름이 작은 볼록 집합들의 가산 커버를 사용하는 것이다.
• 전순서 추적의 전순서적 역극한을 이용하여, $C(K_1 \times K_2)$가 점별 Kadec 재규약을 가질 수 있는 컴팩트 공간 $K_2$의 클래스를 구성하고 분석한다.
• $\tau_p$-하향 연속 LUR 노름과 그 점별 위상과의 호환성을 활용하여 하위공간에서의 재규약을 확장한다.
• 商사상의 $({\tau},{\tau}')$-연속성과 LUR 성질을 이용하여 노름 위상에서 사영의 수렴을 증명한다.
• 삼공간 성질 프레임워크를 적용하여, 만약 $C_0(X)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가지며 $C(K\setminus X)$가 $\tau_p$-lsc LUR 재규약을 가지면, $C(K)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가짐을 보인다.
• $\tau_p$-Kadec 노름의 존재성과 단위 구면에서의 $\tau_p$-열린 집합과 볼록 집합의 교차로 이루어진 가산 네트워크의 존재성 간의 동치성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $K$가 컴팩트 선형 순서 공간들의 곱일 경우, $C(K)$는 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가지는가?
• RQ2 $C(K_1)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가질 때, $K_1$과 $K_2$에 어떤 조건이면 $C(K_1 \times K_2)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가지는가?
• RQ3 $\tau_p$-Kadec 재규약의 존재성은 삼공간 성질인가? 그리고 이러한 결과에서 Kadec-Klee 조건을 Kadec 조건으로 대체할 수 있는가?
• RQ4 $\tau_p$-Kadec 재규약으로 노름-SLD 성질을 곱공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $\tau_p$-lsc LUR 노름은 하위공간에서의 재규약을 더 큰 함수 공간으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 컴팩트 선형 순서 공간들의 곱 $K$에 대해, $C(K)$는 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가짐을 보이며, 이는 Haydon, Jayne, Namioka, Rogers의 결과를 가산 곱으로부터 확장한다.
• $C(K_1)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가지며 $K_2$가 컴팩트 메트라이즈블 공간들을 전순서 연속 추적의 역극한에 대해 닫힌 클래스에 속할 경우, $C(K_1 \times K_2)$는 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가짐을 보인다.
• Kadec 성질에 대한 삼공간 성질이 성립한다: 만약 $Y \subseteq X$가 하위공간이며 $Y$가 $\tau_p$-Kadec 성질을 가지며 $X/Y$가 LUR 재규약을 가질 경우, $X$는 $\tau_p$-Kadec 성질을 가진다.
• $C_0(X)$가 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가지며 $C(K\setminus X)$가 $\tau_p$-lsc LUR 재규약을 가지면, $C(K)$는 $\tau_p$-Kadec 재규약을 가짐을 보인다.
• 논문은 [LZ]에서 제기된 열린 문제를 해결하여, 삼공간 성질에서 Kadec-Klee 조건을 더 약한 Kadec 조건으로 대체할 수 있음을 보였다.
• 저자들은 $\tau_p$-Kadec 재규약이 단위 구면에서의 볼록 집합들의 가산 커버가 존재하고, 그 집합과 $\tau_p$-열린 집합의 교차가 노름 위상의 네트워크를 형성할 경우에 등가임을 수립한다.