[논문 리뷰] Keisler's order has infinitely many classes

M. Malliaris, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 28.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 ZFC 내에서, 초순서화된 이론의 모형이론적 복잡도를 초순서화된 포화도를 통해 비교하는 데 쓰이는 키슬러 순서가, 단순하지만 불안정한 이론들의 무한히 엄격하게 감소하는 사슬을 포함한다는 것을 증명한다. 이 결과는 허슈프스키의 $n$-free $k$-하이퍼그래프를 분석하고 최적의 초필터를 구성함으로써 달성되었으며, 키슬러 순서가 유한하지 않고 잘순서가 아니라는 것을 보여주며 오랫동안 지속된 유한한 클래스 수에 대한 추측을 뒤엎는다.

ABSTRACT

We prove, in ZFC, that there is an infinite strictly descending chain of classes of theories in Keisler's order. Thus Keisler's order is infinite and not a well order. Moreover, this chain occurs within the simple unstable theories, considered model-theoretically tame. Keisler's order is a central notion of the model theory of the 60s and 70s which compares first-order theories (and implicitly ultrafilters) according to saturation of ultrapowers. Prior to this paper, it was long thought to have finitely many classes, linearly ordered. The model-theoretic complexity we find is witnessed by a very natural class of theories, the $n$-free $k$-hypergraphs studied by Hrushovski. This complexity reflects the difficulty of amalgamation and appears orthogonal to forking.

연구 동기 및 목표

• 1967년 키슬러가 제기한, 키슬러 순서의 구조에 관한 질문을 해결함으로써, 이 순서가 오랫동안 유한한 클래스 수만을 가진다고 추측되어 온 바를 해결한다.
• 단순하지만 불안정한 이론들이 키슬러 순서에서 상대적으로 균일한 클래스를 이룬다는 기존의 모형이론적 직관을 도전한다.
• 낮고, 분기하지 않는 단순 이론들조차도 키슬러 순서에서 무한한 복잡성을 보임을 보여준다.
• 초순서화된 포화도에 기반한 이론의 계층이 잘순서가 아니라는 것을 입증한다. 이는 이전의 기대와는 정반대이다.
• 색칠과 융합 제약 조건에 연결된 새로운 복잡도 측정법을 도입함으로써 단순 이론의 분류를 확장한다.

제안 방법

• 최근의 연구에서 유래한 '최적의 초필터'의 구성 기법(Malliaris와 Shelah, 2014)을 활용하여 초순서화된 포화도의 성질을 분석한다.
• 모델 이론적 성질을 분석한다. $T_{m,k}$는 $m$-free $k$-하이퍼그래프의 모델 완비화이며, $m > k \geq 2$일 때, 이는 분기하지 않는 단순 이론으로 알려져 있다.
• 모든 $k > n$에 대해 $T_{k,k+1}$의 서로소 합집합으로 구성된 이론의 가족 $T^*_n$을 만들며, 이는 키슬러 순서에서 감소하는 사슬을 이룬다.
• 특히 $k' > k$이면 $T^*_{k'} \trianglelefteq T^*_k$가 성립함을 이용하여, 초순서화된 포화도의 행동에 기반한 키슬러 순서에서의 순서 관계를 유도한다.
• 초필터 구성과 집합론적 색칠 정리에 관한 ZFC 결과를 적용하여, 필요한 초필터의 존재를 보장한다.
• 이론 $T_{m+r,k+r}$에서 $r \to \infty$일 때 융합 제약 조건의 복잡도가 감소함을 입증함으로써, 이러한 이론들이 무작위 그래프에 점점 더 가까워진다는 thesis를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 키슬러 순서는 단순하지만 불안정한 이론의 무한히 엄격하게 감소하는 사슬을 허용하는가?
• RQ2 단순 이론의 복잡도는 융합 제약 조건의 지속성으로 측정될 수 있으며, 이는 키슬러 순서에서의 위치와 관련이 있는가?
• RQ3 분기하지 않는 이론과 낮은 모형이론적 복잡도를 가진 이론들만을 사용하여 키슬러 순서에서 무한히 감소하는 사슬을 구성할 수 있는가?
• RQ4 n-자유 $k$-하이퍼그래프는 키슬러 순서에서 무한한 깊이를 드러내는 자연스러운 이론의 가족인가?
• RQ5 추가적인 집합론적 공리 없이 ZFC만으로도 그러한 무한한 사슬을 실현하기 위한 필요한 초필터를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 키슬러 순서에는 단순하지만 불안정한 이론들의 무한히 엄격하게 감소하는 사슬이 존재함을 증명함으로써, 이 순서가 잘순서가 아니라는 것을 입증한다.
• 이 사슬은 분기하지 않는 이론과 낮은 모형이론적 복잡도를 가진 이론의 클래스 내에서 구성되었으며, 특히 $k > n$에 대해 $T_{k,k+1}$의 서로소 합집합을 사용한다.
• 이론 $T^*_n$은 감소하는 사슬을 이룬다: $T^*_0 \triangleright T^*_1 \triangleright T^*_2 \triangleright \cdots$, 각각의 $T^*_{n+1} \trianglelefteq T^*_n$이다.
• 결과는 추가적인 집합론적 공리를 요구하지 않고 ZFC 내에서 성립하므로, 오랫동안 열려있던 모형이론의 문제를 해결한다.
• 관찰된 복잡도는 분기와 무관하며, 허슈프스키의 $n$-free $k$-하이퍼그래프의 융합 제약 조건의 구조에서 기인한다.
• 이것은 단순하고 분기하지 않는 이론의 가장 단순한 클래스조차도 키슬러 순서에서 무한한 내부 복잡성을 지닌다는 것을 보여준다.