[논문 리뷰] Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields

Everett W. Howe|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 아벨 다양체의 이소지니 클래스가 주로 극도의 다양체를 포함할 조건을 제시한다. 이를 위해 그로텐디크 군 내의 두 위수의 고장 요소 $ I_{\text{C}} $ 를 사용한다. $ I_{\text{C}} = 0 $ 이 되는 것은 그러한 다양체가 존재함과 동치이며, 웨일 수에 대한 약한 조건 하에 모든 단순한 홀수 차원 아벨 다양체가 주로 극도의 다양체와 이소지니임을 증명한다.

ABSTRACT

Suppose $C$ is an isogeny class of abelian varieties over a finite field $k$. In this paper we give a partial answer to the question of which finite group schemes over $k$ occur as kernels of polarizations of varieties in $C$. We show that there is an element $I_C$ of a finite two-torsion group that determines which Jordan-Hölder isomorphism classes of finite commutative group schemes over $k$ contain kernels of polarizations. We indicate how the two-torsion group can be computed from the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism of the varieties in $C$, and we give some relatively weak sufficient conditions for the element $I_C$ to be zero. Using these conditions, we show that every isogeny class of simple odd-dimensional abelian varieties over a finite field contains a principally polarized variety. As a step in the proofs of these theorems, we prove that if $K$ is a CM-field and $A$ is a central simple $K$-algebra with an involution of the second kind, then every totally positive real element of $K$ is the reduced norm of a positive symmetric element of $A$.

연구 동기 및 목표

• 주어진 아벨 다양체의 이소지니 클래스 내에서 어떤 유한 체스킴이 극도의 다양체의 커널이 될 수 있는지 규명하는 것.
• 유한체 위의 주어진 이소지니 클래스 내에서 주로 극도의 아벨 다양체가 존재하는지 특성화하는 것.
• 이소지니 클래스의 실현 가능성 제어에 기여하는 유한한 두 위수의 몫군 내에서 고장 요소 $ I_{\text{C}} $ 를 정의하고 계산하는 것.
• 이소지니 클래스 내에 주로 극도의 다양체가 존재함을 보장하는 충분 조건을 제공하는 것.
• 모든 단순한 홀수 차원 아벨 다양체가 유한체 위에서 주로 극도의 다양체와 이소지니임을 확립하는 것.

제안 방법

• 이소지니 클래스 $ \text{C} $ 내의 이소지니의 커널의 그로텐디크 군 $ G(\text{Ker}_{\text{C}}) $ 를 정의하고, 프로베누스 및 버쉬비exion 엔도모르피즘으로부터 유도된 실수/CM-순서 $ R $ 에 대해 $ G(\text{Mod}_R) $ 와의 위상동형을 구성하는 것.
• 달성 가능한 체스킴의 동치류를 포함하는 부분군 $ Z(R) \subset G(\text{Mod}_R) $ 를 도입하고, $ Z(R) $ 의 유한한 두 위수 몫군 $ \mathcal{B}(R) $ 를 정의하는 것.
• 모든 이소지니 클래스 내에서 주어진 체스킴과 동형인 커널을 갖는 극도의 다양체가 존재하는지 여부를 결정하는 고장 요소 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ 를 구성하는 것. 이는 주어진 체스킴의 동치류가 $ \mathcal{B}(R) $ 에서 $ I_{\text{C}} $ 로 사상되는지 여부에 따라 결정된다.
• 이소지니 클래스가 주로 극도의 다양체를 포함함과 동치로 $ I_{\text{C}} = 0 $ 임을 보이는 것.
• CM-체의 구조와 $ K/K^+ $ 확장에서의 소수의 행동을 이용하여 $ \mathcal{B}(R) $ 를 계산하고, $ I_{\text{C}} = 0 $ 가 되는 조건을 규명하는 것.
• 만약 $ K $ 가 CM-체이고, $ K/K^+ $ 에서 유한 소수가 분해되거나, $ \pi - \overline{\pi} $ 를 나누는 $ K^+ $ 의 소수가 $ K/K^+ $ 에서 불가약하다면, $ I_{\text{C}} = 0 $ 임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 유한 가환 체스킴 중 어떤 것이 주어진 아벨 다양체의 이소지니 클래스 내에서 극도의 다양체의 커널이 될 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건 하에 유한체 위의 아벨 다양체의 이소지니 클래스가 주로 극도의 다양체를 포함하는가?
• RQ3 이소지니 클래스의 웨일 수로부터 고장 요소 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ 는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 어떻게 $ R = \mathbb{Z}[F, V] $ 가 극도의 다양체와 그들의 커널을 분류하는 데 기여하는가?
• RQ5 왜 모든 단순한 홀수 차원 아벨 다양체가 유한체 위에서 주로 극도의 다양체를 갖는가?

주요 결과

• 이소지니 클래스 $ \text{C} $ 가 주로 극도의 다양체를 포함함은 고장 요소 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ 가 0임과 동치이다.
• 모든 실수 체 $ K = \mathbb{Q}(\pi) $ 를 갖는 단순 이소지니 클래스의 경우, 고장 요소 $ I_{\text{C}} $ 는 항상 0이므로, 그러한 클래스는 주로 극도의 다양체를 포함한다.
• 만약 $ K $ 가 CM-체이고, $ K/K^+ $ 에서 유한 소수가 분해되거나, $ \pi - \overline{\pi} $ 를 나누는 $ K^+ $ 의 소수가 $ K/K^+ $ 에서 불가약하다면, $ I_{\text{C}} = 0 $ 이므로 $ \text{C} $ 는 주로 극도의 다양체를 포함한다.
• 홀수 차원 단순 아벨 다양체의 모든 이소지니 클래스는 유한체 위에서 주로 극도의 다양체를 포함한다. 이는 홀수 차원 조건 하에서 $ I_{\text{C}} $ 가 0이 되기 때문이다.
• 고장 군 $ \mathcal{B}(R) $ 는 이소지니 클래스의 웨일 수로부터 계산될 수 있으며, 특히 CM-확장 $ K/K^+ $ 에서의 소수 분해를 통해 계산된다.
• 증명은 핵심 대수적 결과에 기반한다: 모든 CM-체 $ K $ 의 양의 원소는 제약 노름을 갖는 양의 대칭 원소를 갖는 중심 단순 $ K $-대수와 제2종의 자명화를 갖는다.