[논문 리뷰] Khintchine type inequalities for reduced free products and Applications

Éric Ricard, Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|2005. 05. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수와 von Neumann 대수의 감소 자유 곱에서 고정 길이의 단어에 대한 히힌친 유형 부등식을 수립하며, 길이 $d$인 단어의 부분공간에 대한 사영 연산자가 $d$에 대해 선형적으로 증가하는 노름을 가진 완전 유계임을 증명한다. 이러한 결과들은 정확성과 완전 수축적 근사 성질(CCAP)이 감소 자유 곱에 대해 안정적임을 보여주는데 응용되며, 상수가 1인 약한 아벨성 그룹의 자유 곱은 여전히 상수가 1인 약한 아벨성을 유지함을 증명한다.

ABSTRACT

We prove Khintchine type inequalities for words of a fixed length in a reduced free product of $C^*$-algebras (or von Neumann algebras). These inequalities imply that the natural projection from a reduced free product onto the subspace generated by the words of a fixed length $d$ is completely bounded with norm depending linearly on $d$. We then apply these results to various approximation properties on reduced free products. As a first application, we give a quick proof of Dykema's theorem on the stability of exactness under the reduced free product for $C^*$-algebras. We next study the stability of the completely contractive approximation property (CCAP) under reduced free product. Our first result in this direction is that a reduced free product of finite dimensional $C^*$-algebras has the CCAP. The second one asserts that a von Neumann reduced free product of injective von Neumann algebras has the weak-$*$ CCAP. In the case of group $C^*$-algebras, we show that a free product of weakly amenable groups with constant 1 is weakly amenable.

연구 동기 및 목표

• 감소 자유 곱의 $C^*$-대수와 von Neumann 대수에서 고정 길이 $d$의 단어에 대한 히힌친 유형 부등식을 확장한다.
• 길이 $d$인 단어의 부분공간에 대한 사영 연산자가 $d$에 대해 선형적으로 증가하는 노름을 가진 완전 유계임을 확립한다.
• 이러한 부등식을 적용하여 감소 자유 곱에 대해 근사 성질—특히 정확성과 완전 수축적 근사 성질(CCAP)—의 안정성을 증명한다.
• 군 $C^*$-대수와 포함형 von Neumann 대수에서의 약한 아벨성과 CCAP의 유지 문제를 해결한다.

제안 방법

• 감소 자유 곱의 길이 $d$인 단어에 대해 상수가 $2d+1$인 부흐홀츠의 부등식의 자유 곱 형태를 증명한다.
• 특히 헤이거프 텐서 곱과 행/열 힐버트 공간을 포함한 연산자 공간 이론을 사용하여 자유 곱의 구조를 분석한다.
• 히힌친 유형 부등식을 적용하여 $d$-동차 성분에 대한 사영 연산자가 노름 $O(d)$로 완전 유계임을 보인다.
• 모듈라 헤이거프 텐서 곱의 보편 성질을 활용하여 부등식을 융합된 경우로 확장한다.
• 관련 헤이거프 텐서 곱의 1-정확성(1-exactness)을 증명함으로써 감소 자유 곱에 대한 정확성이 유지됨을 보인다.
• $d$에 대한 선형 의존성을 활용하여 유한 차원 $C^*$-대수에 대해 CCAP의 안정성과 포함형 von Neumann 대수에 대해 약한-* CCAP의 안정성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감소 자유 곱의 $C^*$-대수에서 길이 1에서 임의의 고정 길이 $d$로 히힌친 유형 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 길이 $d$인 단어의 부분공간에 대한 사영 연산자는 완전 유계인가? 그 노름은 $d$에 대해 어떻게 의존하는가?
• RQ3 감소 자유 곱에 대해 완전 수축적 근사 성질(CCAP)이 유지되는가?
• RQ4 상수가 1인 약한 아벨성 그룹의 자유 곱은 여전히 약한 아벨성과 상수 1을 유지하는가?
• RQ5 히힌친 부등식과 연산자 공간 기법을 통해 감소 자유 곱에 대한 정확성의 안정성이 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 감소 자유 곱에서 고정 길이 $d$의 단어로 생성되는 부분공간에 대한 사영 연산자는 노름이 최대 $2d+1$ 이하로, $d$에 대해 선형적으로 증가하는 완전 유계이다.
• 헤이거프-피지에르의 부등식의 자유 곱 형태가 임의의 길이 $d$로 확장되며, 상한 상수는 $2d+1$이다.
• 유한 차원 $C^*$-대수의 감소 자유 곱은 완전 수축적 근사 성질(CCAP)을 가진다.
• 정규 상태에 대한 포함형 von Neumann 대수의 감소 자유 곱은 약한-* CCAP를 가진다.
• 상수가 1인 약한 아벨성 그룹의 자유 곱은 여전히 상수가 1인 약한 아벨성을 유지한다.
• 히힌친 부등식과 헤이거프 텐서 곱의 1-정확성에 기반하여 감소 자유 곱에 대한 정확성의 안정성이 확립된다.