[논문 리뷰] Kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and application to quasilinear kinetic diffusion equations

Lukas Niebel, Rico Zacher|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 14.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분수 마르코프 방정식에 대해 시간 가중치를 갖는 운동론적 최대 $L^p$-정규성을 도입하며, 해가 가중 리만 공간에 속하고 시간에 대해 비틀림형 베소프 추적 공간가치로 연속적임을 증명한다. 주요 기여는 변수 계수 운동론적 방정식에 대해 이러한 정규성을 확립하고, 이를 이용해 비선형 운동론적 확산 방정식의 국소적 해 존재성을 증명하는 데 있다.

ABSTRACT

We introduce the concept of kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and prove that this property is satisfied for the (fractional) Kolmogorov equation. We show that solutions are continuous with values in the trace space and prove, in particular, that the trace space can be characterized in terms of anisotropic Besov spaces. We further extend the property of kinetic maximal $L^p_μ$-regularity to the Kolmogorov equation with variable coefficients. Finally, we show how kinetic maximal $L^p_μ$-regularity can be used to obtain local existence of solutions to a class of quasilinear kinetic equations and illustrate our result with a quasilinear kinetic diffusion equation.

연구 동기 및 목표

• 선형 및 비선형 운동론적 편미분 방정식을 위한 새로운 정규성 프레임워크—시간 가중치를 갖는 운동론적 최대 $L^p$-정규성—을 개발한다.
• 고전적 정규성 이론을 운동론적 설정으로 확장하기 위해, 운동론적 방정식 해의 추적 공간을 이방향 베소프 공간으로 특성화한다.
• 표준 이론이 비홀로모르픽 반군으로 인해 실패하는 점을 극복하기 위해, 변수 계수를 갖는 마르코프 방정식에 대해 최대 $L^p$-정규성 이론을 확장한다.
• 개발된 정규성 이론을 활용해 비선형 운동론적 확산 방정식의 국소적 해 존재성을 증명한다.
• 시간 가중치를 갖는 운동론적 방정식의 해에 대해 즉각적인 부드러움 성질과 추적 공간가치로의 시간 연속성을 확립한다.

제안 방법

• 운동론적 및 분수 확산 정규성을 시간 가중치와 함께 캡처하기 위해 공간 $\mathbb{E}_\mu(0,T) = \mathcal{T}_\mu^p((0,T);L^q(\mathbb{R}^{2n})) \cap L^p_\mu((0,T);H_v^{\beta,q}(\mathbb{R}^{2n}))$ 를 도입한다.
• 분수 마르코프 방정식에 대해 운동론적 최대 $L^p_\mu(L^q)$-정규성을 확립하기 위해, $\partial_t u + v\cdot\nabla_x u$ 와 $(-\Delta_v)^{\beta/2}u$ 에 대한 가중 $L^p$-추정을 확립한다.
• $\mathbb{R}^{2n+1}$ 상의 동차 군 구조를 이용해 운동론적 연산자 $\partial_t + v\cdot\nabla_x$ 를 분석하고, 이방향 스케일링에 대해 불변인 추정을 유도한다.
• 추적 공간 $X_{\gamma,\mu}$ 를 이방향 베소프 공간 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ 으로 특성화하며, $\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$ 이고, 해의 정규성과 함수 공간 이론을 연결한다.
• 이방향 베소프 공간에서의 미분 연산자 유계성에 대해 미클린 곱수 정리(Mikhlin multiplier theorem)를 적용하여, 분수 라플라스 연산자 및 관련 연산자의 연속성을 보장한다.
• 추적 공간 연속성과 임bedding 정리들을 활용해, 가중 정규성 공간 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 내에서 고정점 방법을 사용하여 비선형 운동론적 방정식의 국소 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 마르코프 방정식에 대해 $p,q \in (1,\infty)$ 및 $\mu \in (1/p,1]$ 인 경우, 시간 가중치를 갖는 운동론적 최대 $L^p$-정규성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 운동론적 방정식 해의 추적 공간은 어떻게 이방향 베소프 공간으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 변수 계수를 갖는 마르코프 방정식에 대해 운동론적 최대 $L^p_\mu$-정규성이 확장되는가?
• RQ4 운동론적 최대 $L^p_\mu$-정규성은 비선형 운동론적 확산 방정식의 해 존재성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 시간 가중치를 갖는 운동론적 방정식의 해에 대해 즉각적인 부드러움과 추적 공간가치로의 시간 연속성의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 분수 마르코프 방정식에 대해 $p,q \in (1,\infty)$ 및 $\mu \in (1/p,1]$ 인 경우, 운동론적 최대 $L^p_\mu(L^q)$-정규성이 성립하며, 이는 이전 결과를 일반적인 $p,q$ 및 가중 노름으로 확장한다.
• 운동론적 방정식의 해는 추적 공간 $X_{\gamma,\mu} = (L^q(\mathbb{R}^{2n}), D(A))_{\mu-1/p,p}$ 에 값이 시간에 대해 연속적이다. 이는 $\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$ 인 이방향 베소프 공간 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ 으로 식별된다.
• $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$ 를 만족할 경우, 추적 공간 $X_{\gamma,\mu}$ 는 $C_0(\mathbb{R}^{2n})$ 에 임베드되며, 이는 해의 점별 연속성을 보장한다.
• 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta_v)^{\beta/2}$ 는 $B_{qp}^{s,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ 에서 $B_{qp}^{s-\beta/2,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ 로 연속적으로 사상하며, 이방향 구조를 유지한다.
• $\mu \in (1/p,1]$ 인 경우, 공간 ${{}^\mathrm{kin}B}_{qp}^{\mu-1/p,2}(\mathbb{R}^{2n})$ 는 $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$ 를 만족할 경우 $C_0^1(\mathbb{R}^{2n})$ 에 임베드되며, 이는 해의 추적에 대한 더 높은 정규성을 암시한다.
• 비선형 운동론적 확산 방정식의 국소적 해 존재성은 공간 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 내에서 고정점 방법을 통해 증명되었으며, 운동론적 최대 $L^p_\mu$-정규성 프레임워크에 의존한다.