[논문 리뷰] Kinetic theory models for the distribution of wealth: power law from overlap of exponentials

Marco Patriarca, Anirban Chakraborti외 2명|RePEc: Research Papers in Economics|2005. 04. 21.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다중 에이전트 운동 교환 모델에서 부의 분포 꼬리에 나타나는 힘의 법칙 꼬리가 내재된 메커니즘 때문이 아니라, 서로 다른 고정된 절약 성향을 가진 에이전트들에 해당하는 개별 감마 분포의 초월(중첩) 때문임을 설명한다. 이로 인해 효과적인 분포는 차원 수가 변하는 맥스웰-볼츠만 분포를 모방하게 되며, 이는 서로 다른 절약 성향에서 기인하는 지수 감쇠의 중첩으로 인해 꼬리에서 파레토 지수 α = 1을 유도한다.

ABSTRACT

Various multi-agent models of wealth distributions defined by microscopic laws regulating the trades, with or without a saving criterion, are reviewed. We discuss and clarify the equilibrium properties of the model with constant global saving propensity, resulting in Gamma distributions, and their equivalence to the Maxwell-Boltzmann kinetic energy distribution for a system of molecules in an effective number of dimensions $D_λ$, related to the saving propensity $λ$ [M. Patriarca, A. Chakraborti, and K. Kaski, Phys. Rev. E 70 (2004) 016104]. We use these results to analyze the model in which the individual saving propensities of the agents are quenched random variables, and the tail of the equilibrium wealth distribution exhibits a Pareto law $f(x) \propto x^{-α-1}$ with an exponent $α=1$ [A. Chatterjee, B. K. Chakrabarti, and S. S. Manna, Physica Scripta T106 (2003) 367]. Here, we show that the observed Pareto power law can be explained as arising from the overlap of the Maxwell-Boltzmann distributions associated to the various agents, which reach an equilibrium state characterized by their individual Gamma distributions. We also consider the influence of different types of saving propensity distributions on the equilibrium state.

연구 동기 및 목표

• 다중 에이전트 경제 모델에서 관찰되는 파레토 힘의 법칙 꼬리의 기원을 이해하는 것.
• 고정된(고정된) 랜덤 변수로 간주되는 개별 절약 성향이 매크로스코픽 힘의 법칙 행동을 어떻게 유도하는지 명확히 하는 것.
• 부의 교환 모델과 통계역학, 특히 D 차원에서의 맥스웰-볼츠만 분포 사이의 물리적 유사성을 수립하는 것.
• 절약 성향 분포의 형태가 부의 분포의 힘의 법칙 지수와 截斷점에 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 각 에이전트가 고정된(고정된) 절약 성향 λ를 가진 채로 부의 교환을 확률적 과정으로 모델링한다.
• 운동 이론을 사용하여 각 에이전트의 평형 부의 분포를 그들 각자의 λ로 매개변수화된 감마 분포로 유도한다.
• 전체 부의 분포가 서로 다른 λ 값에 해당하는 이러한 개별 감마 분포의 초월(중첩)임을 보여준다.
• ξ = K/T로의 스케일링을 통해 D차원 고전 시스템의 운동 에너지 분포와 부의 분포 사이의 매핑을 수립한다.
• D차원에서의 맥스웰-볼츠만 분포가 감마 분포 γ_{D/2}(ξ)에 해당함을 보여주며, 통계역학과 부의 동역학을 연결한다.
• 중첩된 분포의 꼬리 행동을 분석하여, λ가 [0,1)에서 균일하게 분포할 경우 f(x) ∝ x^{−α−1} 형태의 힘의 법칙을 유도하며, 이때 α = 1임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 절약 성향을 가진 개별 감마 분포의 중첩이 부의 분포의 힘의 법칙 꼬리를 어떻게 유도하는가?
• RQ2 다중 에이전트 교환 모델에서 부의 분포에 나타나는 파레토 지수 α = 1의 물리적 기원은 무엇인가?
• RQ3 힘의 법칙의 발생이 개별 절약 성향의 분포에 얼마나 의존하는가?
• RQ4 부의 교환과 D차원에서의 맥스웰-볼츠만 통계 간의 유사성이 관측된 분포 형태를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• 부의 분포 꼬리에 나타나는 힘의 법칙 꼬리는 단일 메커니즘 때문이 아니라, 서로 다른 절약 성향을 가진 에이전트들에 해당하는 다수의 지수 감쇠(감마 분포)의 중첩에서 기인한다.
• 고정된 절약 성향 λ를 가진 에이전트의 평형 부의 분포는 감마 분포이며, 이는 D = 2λ + 2 차원에서의 맥스웰-볼츠만 분포에 해당한다.
• 절약 성향 λ가 [0,1)에서 균일하게 분포할 경우, 감마 분포의 중첩은 지수 α = 1을 가진 파레토 힘의 법칙을 유도한다.
• 힘의 법칙 꼬리의 노이즈와 截斷점은 λ 분포의 조밀함에 직접적으로 영향을 받으며, 더 매끄러운 분포는 더 나은 힘의 법칙 스케일링을 유도한다.
• 이 모델은 경제적 교환과 통계역학 사이의 깊은 유사성을 수립하며, 일정한 λ 모델을 초월해 이질적인 시스템으로의 맥스웰-볼츠만 유사성의 확장을 가능하게 한다.
• 효과적인 차원 수 D_λ = 2λ + 2는 운동 시스템에서의 자유도 관점에서 절약 성향의 물리적 해석을 제공한다.