[논문 리뷰] KMS states on C^*-algebras associated with self-similar sets

Tsuyoshi Kajiwara, Yasuo Watatani|arXiv (Cornell University)|2004. 05. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한한 분기점들을 가진 자기유사 집합과 관련된 C*-대수의 게이지 작용에 대한 KMS 상태를 분류한다. 힐버트 C*-모듈에 대한 '패치 기저'를 구성함으로써, 자기유사 집합 위의 보렐 확률 측도가 KMS 상태로 연장될 조건을 도출한다. β = log N일 때는 분기점이 없으면 히 Hutchinson 측도가 유일한 KMS 상태를 제공하지만, β > log N일 경우 분기점 궤도에 지지된 측도로부터 추가적인 KMS 상태가 발생하며, 이는 단위구간과 시어르피ńsk리 꽁지 예제에서 확인된다.

ABSTRACT

In this paper, we study KMS states for the gauge actions on C${}^*$-algebras associated with self-similar sets whose branch points are finite. If the self-similar set does not contain any branch point, the Hutchinson measure gives the unique KMS state. But if the self-similar set dose contain a branch point, there sometimes appear other KMS states which come from branch points. For this purpose we construct explicitly a basis for a Hilbert C${}^*$-module associated with a self-similar set with finite branch condition. Using this we get condition for a Borel probability measure on K to be extended to a KMS state on the C${}^*$-algebra associated with the original self-similar set. We classify KMS states for the case of dynamics of unit interval and the case of Sierpinski gasket which is related with Complex dynamical system. KMS states for these examples are unique and given by the Hutchinson measure if $β$ is equal to $\log N$, where $N$ is the number of contractions. They are expressed as convex combinations of KMS states given by measures supported on the orbit of the branched points if $β> \log N$.

연구 동기 및 목표

• 분기점을 포함하는 자기유사 집합과 관련된 C*-대수의 게이지 작용에 대한 KMS 상태의 구조를 이해한다.
• 자기유사 집합 위의 보렐 확률 측도가 관련 C*-대수의 KMS 상태로 연장될 조건을 특성화한다.
• 비가역 동역학계에서 분기점의 궤도 구조와 KMS 상태 분류 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 이전 연구에서 사용된 변형 및 약한 극한 기법을 피하면서, 추적의 KMS 상태로의 연장에 대한 직접적인 기저 기반 증명을 제공한다.
• 두 핵심 예제에 대해 KMS 상태를 명시적으로 분류한다: 테이트 사상에 대한 단위구간과 유리 함수에 대한 시어르피ńsk리 꽁지.

제안 방법

• 자기유사 집합이 유한한 분기 조건을 만족할 때 발생하는 힐버트 C*-이중모듈에 대한 '패치 기저'를 구성한다.
• 가산 기저를 사용하여 C(K) 위의 추적 상태가 Cuntz-Pimsner 대수 O_X 위의 KMS 상태로 연장될 조건을 표현한다.
• KMS 상태로 연장 가능한 측도를 특성화하는 Ruelle-Perron-Frobenius 유형의 연산자를 유도한다.
• 두 가지 표준 예제에 이 방법을 적용한다: 두 개의 압축 사상이 있는 단위구간과 세 개의 압축 사상이 있는 시어르피ńsk리 꽁지.
• 분기점의 역사상과 궤도 구조를 사용하여 분기점 궤도에 지지된 상태의 볼록 조합을 통해 KMS 상태를 분류한다.
• β > log N일 경우 KMS 상태가 각 분기점의 궤도와 관련된 극단 상태의 볼록 조합임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 분기점을 가진 자기유사 집합 위의 보렐 확률 측도가 관련 C*-대수의 KMS 상태로 연장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 분기점의 존재가 게이지 작용에 대한 KMS 상태의 존재성과 유일성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 역온도 β가 log N을 초과할 경우 KMS 상태 공간의 정확한 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 분기점의 궤도 구조는 KMS 상태가 극단 성분으로 분해될 때 어떻게 관련되는가?
• RQ5 히 Hutchinson 측도는 분기점을 포함하거나 포함하지 않는 자기유사 집합의 KMS 상태 분류에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 분기점을 가지지 않는 자기유사 집합의 경우, β = log N일 때 히 Hutchinson 측도가 유일한 KMS 상태를 제공한다.
• 분기점을 포함하는 자기유사 집합, 예를 들어 시어르피ńsk리 꽁지의 경우, β > log N일 때 추가적인 KMS 상태가 발생한다.
• 시어르피ńsk리 꽁지의 경우, β > log 3인 β-KMS 상태는 세 개의 극단 KMS 상태의 볼록 조합이며, 각각 세 개의 분기점 중 하나에 대응한다.
• β > log 3인 각 극단 KMS 상태는 분기점의 정방향 궤도에 지지되어 있으며, 분기점의 역이미지에 점 질량을 가진 측도로 주어진다.
• 시어르피ńsk리 꽁지에서 β > log 3인 β-KMS 상태의 집합은 세 개의 분기점에 대응하는 정점들을 가진 두 차원 단체와 위상동형이다.
• 두 개의 압축 사상이 있는 단위구간의 경우, 유일한 β-KMS 상태는 오직 β = log 2일 때 존재하며, 이는 정규화된 르베그 측도로 주어진다.