[논문 리뷰] Knapsack and subset sum problems in nilpotent, polycyclic, and co-context-free groups

Daniel König, Markus Lohrey외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 18.

semigroups and automata theory참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비표준 군 클래스에서 배낭 문제와 부분합 문제의 결정 가능성과 복잡도를 조사하며, 특히 계수가 2인 노름 군에서 일부 직접 곱으로 구성된 이산 헤이젠베르크 군 H₃(ℤ)의 복수 복사본을 포함하는 군에서 배낭 문제가 결정 불가능하다는 것을 입증한다. 반면, 파르크의 정리와 효과적인 선형 표현을 통해 공-컨텍스트프리 군에서는 결정 가능함을 증명한다. 이 결과들은 조합론적 군론에서 열려 있던 폐쇄 성질과 결정 불가능성 임계점에 대한 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

It is shown that the knapsack problem (introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) is undecidable in a direct product of sufficiently many copies of the discrete Heisenberg group (which is nilpotent of class 2). Moreover, for the discrete Heisenberg group itself, the knapsack problem is decidable. Hence, decidability of the knapsack problem is not preserved under direct products. It is also shown that for every co-context-free group, the knapsack problem is decidable. For the subset sum problem (also introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) we show that it belongs to the class NL (nondeterministic logspace) for every finitely generated virtually nilpotent group and that there exists a polycyclic group with an NP-complete subset sum problem.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성된 노름 군, 다중순환 군, 공-컨텍스트프리 군에서의 배낭 문제와 부분합 문제의 결정 가능성과 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 유한 확장과 직접 곱과 같은 군 연산에 대한 배낭 문제의 폐쇄 성질에 관한 열려 있는 질문들을 해결하는 것.
• 이전 결과보다 더 단순한 구성으로 계수가 2인 노름 군에서 결정 불가능한 배낭 문제를 갖는 군을 구성하는 것.
• 파르크의 정리와 효과적인 선형 집합 표현을 이용해 공-컨텍스트프리 군에서 배낭 문제의 결정 가능성을 입증하는 것.
• 직접 곱에 대해 배낭 문제의 결정 가능성이 유지되지 않음을 보이며, 이는 이산 헤이젠베르크 군 H₃(ℤ)을 반례로 사용하는 것.

제안 방법

• 그룹 원소를 생성자와 그 역원에 대한 단어로 표현하고, Myasnikov 등 (2012)의 인코딩 프레임워크를 따르는 것.
• 공-워드 문제로부터 유도된 컨텍스트프리 언어의 파르크 이미지를 분석하기 위해 파르크의 정리를 적용하는 것.
• 선형 집합의 효과적 계산을 통해 비해결 언어의 파르크 이미지가 ℕᵏ 전체와 일치하는지 여부를 판단함으로써 배낭 문제 인스턴스를 결정하는 것.
• 결정 불가능한 멤버십 문제를 부분군 곱에 인코딩하기 위해 H₃(ℤ)의 복수 복사본의 직접 곱으로 계수가 2인 노름 군을 구성하는 것.
• 공-컨텍스트프리 군의 직접 곱과 제한된 와이어드 프로덕트에 대한 폐쇄 성질을 활용해 결정 가능성 결과를 확장하는 것.
• 배낭 문제를 컨텍스트프리 언어의 여집합에 속함 문제로 감소시키고, 선형 집합의 여집합에 대한 효과적 폐쇄성을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 생성 노름 군에서 배낭 문제가 결정 가능한가, 아니면 결정 불가능한 경우가 존재하는가?
• RQ2 어떤 군에서 배낭 문제가 결정 가능할 경우, 그 직접 곱에서도 결정 가능성이 유지되는가?
• RQ3 거의 노름 군에서 배낭 문제는 다항 시간 내에 해결 가능한가, 그리고 정확한 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 모든 공-컨텍스트프리 군에서 배낭 문제가 결정 가능한가, 만약 그렇다면 이를 가능하게 하는 기법은 무엇인가?
• RQ5 계수가 2인 고정된 노름 군을 구성할 수 있는가, 이에 대해 네 개의 유한 생성 아벨 부분군의 곱에 속함이 결정 불가능한가?

주요 결과

• 계수가 2인 노름 군, 특히 충분히 많은 수의 이산 헤이젠베르크 군 H₃(ℤ)의 직접 곱에서 배낭 문제가 결정 불가능하다.
• NP-완전 부분합 문제를 갖는 다중순환 군이 존재하며, 이는 상대적으로 잘 정의된 군에서도 NP-완전성이 발생할 수 있음을 보여준다.
• 모든 거의 노름 군에서 부분합 문제는 NL(Nondeterministic Logspace)에 속하며, 이는 이전의 다항 시간 상한보다 향상된 결과이다.
• 이산 헤이젠베르크 군 H₃(ℤ)에서 배낭 문제가 결정 가능함을 보여주며, 결정 가능성은 직접 곱에 대해 보존되지 않음을 시사한다.
• 결정 가능한 배낭 문제를 갖는 군의 집합은 유한 확장에 대해 폐쇄되어 있으며, 이는 구조적 폐쇄 성질을 확인한다.
• 모든 공-컨텍스트프리 군에서 배낭 문제가 결정 가능하며, 이 결과는 파르크의 정리와 선형 집합 표현을 통해 효과적으로 도출된다.