[논문 리뷰] Koopman Operator Family Spectrum for Nonautonomous Systems - Part 1

Senka Mačešić, Nelida Črnjarić-Žic외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 21.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기본 행렬과 적응형 관측 선택을 활용하여 선형 비자율 동역계 시스템에서 쿠페르만 연산자 가족의 스펙트럼을 계산하는 데이터 기반 알고리즘을 제안한다. 표준 아르놀디 유사 방법이 고유값 근사에서 시간 도함수에 기인한 오차로 인해 실패한다는 점을 밝히며, 비선형 공액 관측 변수를 사용하는 알고리즘 2를 도입하여 높은 정확도를 달성한다. 이는 하이브리드 및 연속 시간 시스템에서 정확한 고유값 복원을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

For every non-autonomous system, there is the related family of Koopman operators $\mathcal{K}^{(t,t_0)}$, parameterized by the time pair $(t,t_0)$. In this paper we are investigating the time dependency of the spectral properties of the Koopman operator family in the linear non-autonomous case and we propose an algorithm for computation of its spectrum from observed data only. To build this algorithm we use the concept of the fundamental matrix of linear non-autonomous systems and some specific aspects of Arnoldi-like methods. In particular, we use Arnoldi-like methods on local data stencils, we exploit the information contained in the Krylov subspace projection error, and discover limitations in the application of Arnoldi-like methods to cases with continous time dependency. We present results of this data-driven algorithm on various linear non-autonomous systems, hybrid as well as continuous in time. In all the examples comparison with exact eigenvalues and eigenfunctions shows excellent performance of the proposed algorithm.

연구 동기 및 목표

• 선형 비자율 동역계 시스템에서 쿠페르만 연산자 가족 스펙트럼을 계산하는 데이터 기반 알고리즘을 개발하기 위해.
• 시간 의존 쿠페르만 연산자 근사에서 표준 아르놀디 유사 방법이 실패하는 이유를 규명하고, 시간 도함수에 기인한 고유값 오차로 인한 문제를 해결하기 위해.
• Krylov 부분공간 투영 오차를 사용하여 하이브리드 시스템의 스위칭 이벤트를 탐지하는 방법을 체계화하기 위해.
• 지속적으로 시간에 따라 변화하는 시스템에서 정확한 스펙트럼 계산을 가능하게 하는 새로운 관측 변수 변환 전략을 설계하기 위해.
• 제안된 알고리즘을 하이브리드 및 연속 시간 선형 비자율 시스템에 적용하여 정확한 고유값 비교를 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• 쿠페르만 연산자 가족은 정리 1에서 수립된 이론적 연결을 통해 기저 선형 비자율 시스템의 기본 행렬 가족과 연결된다.
• 알고리즘 1은 이동 스크린에 대한 Krylov 부분공간 투영 오차를 사용하여 하이브리드 시스템에서 행렬 스위칭 시점을 탐지한다.
• 아르놀디 유사 방법은 국소 데이터 스크린에 적용되며, 오차 분석을 통해 투영 오차가 제어 행렬의 스위칭 이벤트를 신호로 감지한다는 점을 밝힌다.
• 알고리즘 2는 (54) 형태의 비선형 공액 관측 변수, 예를 들어 $ u_1 = rac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $를 도입하여 고유값의 실수부 또는 허수부를 분리한다.
• 새로운 관측 변수는 두 스크린 데이터 스크린이 정확한 쿠페르만 고유값 계산에 필요한 정보를 충분히 포함하도록 보장하여, 일정 행렬 가정의 한계를 우회한다.
• 이 방법은 아르놀디 유사 방법이 기저 행렬이 시간에 따라 변할 경우, 특히 고유값 도함수가 비영일 경우 실패한다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 표준 아르놀디 유사 방법이 시간 의존 비자율 시스템에서 쿠페르만 스펙트럼을 정확히 근사하지 못하는가?
• RQ2 하이브리드 선형 비자율 시스템에서 Krylov 부분공간 투영 오차는 어떻게 스위칭 이벤트를 탐지하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 지속적으로 시간에 따라 변화하는 시스템에서 정확한 쿠페르만 스펙트럼 계산을 가능하게 하기 위해 어떤 관측 변수 변환이 필요한가?
• RQ4 데이터 기반 알고리즘이 희박한 시간 시리즈 데이터로부터 선형 비자율 시스템의 정확한 쿠페르만 고유값과 고유함수를 복원할 수 있는가?
• RQ5 기저 행렬이 시간에 따라 변할 경우 쿠페르만 고유값 근사에서 발생하는 오류의 성격은 무엇이며, 이는 시스템의 복잡도와 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• 비선형 공액 관측 변수를 사용하는 제안된 알고리즘 2는 하이브리드 및 연속 시간 시스템 모두에서 정확한 쿠페르만 고유값을 거의 완벽하게 복원하며, 수치 결과에서 정확한 값과 눈에 띄는 오프셋 없이 일치한다.
• 표준 DMD 및 아르놀디 유사 방법은 시간 의존 시스템에서 고유값 근사에 심각한 오차를 유발하며, 특히 고유값이 순수 허수일 경우 실수부에서 오차가 크며, 이는 비영인 시간 도함수에 기인한다.
• 고유값 근사 오차는 고유값의 시간 도함수에 비례하며, 시간 간격을 줄여도 감소하지 않아 시간 변화 행렬과의 본질적 불일치를 시사한다.
• 하이브리드 시스템에서 스위칭 지점에서 Krylov 부분공간 투영 오차가 증가하여 행렬 전환을 탐지할 수 있으며, 이는 알고리즘 1의 기초가 된다.
• 예를 들어 $ u_1 = \frac{x_1 + i x_3}{\text{norm}} $와 같은 관측 변수의 사용은 실수부와 허수부를 성공적으로 분리하여 최소한의 데이터 스크린으로도 고유값을 정확히 재구성할 수 있도록 한다.
• 모든 수치 예제, 연속적인 주파수 변화가 있는 결합 진동자 포함, 제안된 알고리즘이 표준 방법을 능가하며, 결과가 수치 정밀도 내에서 정확한 고유값과 일치함을 확인한다.