[논문 리뷰] Koopman Operator Theory for Nonlinear Dynamic Modeling using Dynamic Mode Decomposition

Gregory F. Snyder, Zhuoyuan Song|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 16.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비선형 동역계의 유한차원 선형 모델을 근사하기 위해 확장된 동적 모드 분해(EDMD)와 함께 쿠프만 연산자 이론을 사용하는 것을 제안한다. 이는 局부 선형화 없이 선형 제어 설계를 가능하게 한다. 방법은 다항식 또는 푸리에 기저 함수를 통해 상태를 상향 변환하며, 역립퍼니처 및 카트폴 시스템에 대한 수치 시뮬레이션 결과, 주기적 시스템의 재구성 정밀도가 향상되나, 높은 상호연결성과 일시적인 동역학을 가진 시스템에서는 성능 저하가 발생한다.

ABSTRACT

The Koopman operator is a linear operator that describes the evolution of scalar observables (i.e., measurement functions of the states) in an infinitedimensional Hilbert space. This operator theoretic point of view lifts the dynamics of a finite-dimensional nonlinear system to an infinite-dimensional function space where the evolution of the original system becomes linear. In this paper, we provide a brief summary of the Koopman operator theorem for nonlinear dynamics modeling and focus on analyzing several data-driven implementations using dynamical mode decomposition (DMD) for autonomous and controlled canonical problems. We apply the extended dynamic mode decomposition (EDMD) to identify the leading Koopman eigenfunctions and approximate a finite-dimensional representation of the discovered linear dynamics. This allows us to apply linear control approaches towards nonlinear systems without linearization approximations around fixed points. We can then examine the fidelity of using a linear controller based on a Koopman operator approximated system on under-actuated systems with basic maneuvers. We demonstrate the effectiveness of this theory through numerical simulation on two classic dynamical systems are used to show DMD methods of evaluating and approximating the Koopman operator and its effectiveness at linearizing these systems.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동역계를 위한 데이터 기반 접근법을 개발하기 위해 쿠프만 연산자 프레임워크를 활용한다.
• 국소 선형화의 한계를 극복하기 위해 비선형 동역계를 더 높은 유한차원 공간으로 상향 변환하여 진화가 약간 선형이 되도록 한다.
• 다양한 상향 함수(다항식, 푸리에)를 사용한 EDMD의 성능을 평가하여 시스템 동역학 재구성 능력을 평가한다.
• 쿠프만 근사에서 유도된 선형 제어 법칙이 부족한 작동 시스템에서의 정밀도를 평가한다.
• 특히 상호연결성과 일시적인 동역학을 가진 시스템에서 쿠프만 기반 모델링의 시스템 특화 과제를 규명한다.

제안 방법

• 다항식 또는 푸리에 기저 함수와 같은 관측 함수를 사용하여 비선형 시스템의 상태 공간을 상향 변환하여 동역학을 더 높은 차원의 함수 공간에 매핑한다.
• 시간 시리즈 데이터 스냅샷에서 확장된 동적 모드 분해(EDMD)를 적용하여 쿠프만 연산자의 유한차원 근사를 계산한다.
• 계산된 쿠프만 연산자를 사용하여 상향된 공간에서 선형 진화를 통해 시스템 궤적을 재구성한다.
• 제어되지 않은 데이터와 LQR 제어된 데이터 간의 재구성 정밀도를 비교하여 제어 입력의 모델 정밀도에 미치는 영향을 평가한다.
• 다양한 상향 기저(일차 및 이차 다항식, 푸리에)를 사용하여 다양한 시스템 유형에 최적의 함수 조합을 결정한다.
• 쿠프만 근사 시스템에 선형 제어 기법(LQR 등)을 적용하여 국소 선형화 없이 제어 법칙을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EDMD 기반 쿠프만 연산자 근사는 역립퍼니처 및 카트폴과 같은 비선형 시스템을 효과적으로 선형화할 수 있는가?
• RQ2 상향 함수의 선택(다항식 대비 푸리에)이 시스템 동역학 재구성 정밀도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 DMDc/EDMDc를 통해 제어 입력을 통합하면 제어되지 않은 데이터에 비해 쿠프만 기반 시스템 재구성의 정밀도가 향상되는가?
• RQ4 복잡한 상호연결성을 가진 시스템에서 쿠프만 기반 선형 모델이 일시적 및 주기적 행동을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ5 고차원, 상호연결성, 비주기적 동역학을 가진 시스템에 적용했을 때 쿠프만 기반 모델링의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 역립퍼니처 시스템은 다항식 또는 푸리에 상향을 사용한 EDMD에서 높은 재구성 정밀도를 보였으며, 특히 제어된 데이터에서 두드러졌다.
• 이차 다항식 또는 푸리에 기저를 사용한 EDMD는 기본 DMD에 비해 재구성 정밀도가 향상되었으며, 특히 주기적 행동에서 두드러졌다.
• 카트폴 시스템은 상호연결성과 일시적 동역학, 더 높은 자유도로 인해 재구성 오차가 심각하게 발생했다.
• 제어된 카트폴 데이터는 재구성에 부분적인 개선을 보였지만, 더 단순한 진자 시스템에서 관찰된 수준까지는 도달하지 못했다.
• 진자 시스템에서 다항식 또는 푸리에 기저의 차수를 이차 이상으로 늘여도 재구성 정밀도 향상이 더 이상 관찰되지 않았다.
• LQR 기반 제어 입력은 재구성 과정을 안정화시키는 데 기여했지만, 초기 일시적 반응을 완전히 포착하지 못해 더 부드러운 제어 입력 또는 더 나은 기저 선택이 필요함을 시사했다.