[논문 리뷰] Koopman principle eigenfunctions and linearization of diffeomorphisms

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 03.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 3인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 복소수 유한차원 바나흐 공간에서 비선형 미분형사가 비특이 고정점 근처에서 선형화될 수 있는 위상 동형성과 쿠퍼만 원리 고유함수 사이의 연결고리를 확립한다. 쿠퍼만 연산자의 고유함수로부터 구성된 원리 대수를 통해, 비선형 시스템의 연속 관측량이 스펙트럼 전개를 갖는 함수들에 의해 균일하게 근사가 가능하다는 것을 보이며, 이는 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 위상 동형성에 의한 역상 대수가 조밀성 성질을 물려받음을 보장한다.

ABSTRACT

This paper considers a nonlinear dynamical system on a complex, finite dimensional Banach space which has an asymptotically stable, hyperbolic fixed point. We investigate the connection between the so-called principle eigenfunctions of the Koopman operator and the existence of a topological conjugacy between the nonlinear dynamics and its linearization in the neighborhood of the fixed point. The principle eigenfunctions generate an algebra of observables for the linear dynamics --- called the principle algebra --- which can be used to generate a sequence of approximate conjugacy maps in the same manner as it is done in normal form theory. Each element of the principle algebra has an expansion into eigenfunctions of the Koopman operator and composing an eigenfunction with one of the approximate topological conjugacies gives an approximate eigenfunction of the Koopman operator associated with the nonlinear dynamical system. When the limit of the approximate conjugacies exists and attention is restricted to real Banach spaces, a simple application of the Stone-Weierstrass theorem shows that both the principle algebra and the pull-back algebra --- defined by composing the principle algebra with the topological conjugacy --- are uniformly dense in either the space of continuous functions or the maximal ideal of continuous functions vanishing at the fixed point. The point is that, a priori, it is difficult to know which space of observables to use for dissipative nonlinear dynamical systems whose elements have spectral expansions into eigenfunctions. These results say that any continuous observable is arbitrarily close to one that has such an expansion.

연구 동기 및 목표

• 비선형 미분형사와 그 비특이 고정점 근처에서의 선형화 사이에 존재하는 위상 동형성과 쿠퍼만 원리 고유함수 사이의 관계를 조사하는 것.
• 모든 원소가 쿠퍼만 연산자의 고유함수로의 스펙트럼 전개를 갖는 연속 함수의 부분대수가 존재하는지 확인하는 것.
• 위상 동형성 하에서 선형 시스템의 원리 대수와 비선형 시스템의 역상 대수 사이의 관계를 분석하는 것.
• 실수 바나흐 공간 가정과 고정점 근방의 컴팩트 이웃 제약 조건 하에서, 원리 대수의 균일 닫힘값이 연속 함수 공간 또는 고정점에서 0이 되는 최대 이상수에 대해 조밀한지 여부를 규명하는 것.

제안 방법

• 논문은 비특이 고정점에서 선형화된 미분형사와 관련된 쿠퍼만 연산자의 고유함수로부터 원리 대수를 구성한다.
• 바나흐 값 다항식을 통한 좌표 변환의 수열을 정규형 이론을 이용해 유도하여, 동역학을 점차적으로 고차항까지 선형화하는 과정을 수행한다.
• 비공진 조건 하에서 수렴 보장이 되도록, 원리 대수와 바나흐 공간의 텐서곱을 이용해 위상 동형성을 반복적으로 구성한다.
• 역상 대수는 원리 대수의 함수들과 동형성 사상의 역함수를 조합하여 형성되며, 동형성 하에서 고유함수의 구조를 유지한다.
• 스톤-바이어슈트라스 정리를 컴팩트 이웃에 적용하여, 원리 대수와 그 역상 대수가 연속 함수 공간 내에서 균일하게 조밀하다는 것을 증명한다.
• 이 방법은 관측량의 스펙트럼 전개와 동형성 하에서 고유함수의 불변성에 기반하며, 임의의 연속 관측량이 스펙트럼 분해를 갖는 함수들에 의해 근사가 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 공간 위의 연속 함수 부분대수 중에서, 각 원소가 선형화된 시스템에 대한 쿠퍼만 고유함수로의 스펙트럼 전개를 갖는 것이 존재하는가?
• RQ2 위상 동형성이 존재하는 조건에서, 동일한 질문이 비선형 시스템에 대해서도 성립하는가?
• RQ3 해당 동형성 하에서 선형 시스템의 원리 대수와 비선형 시스템의 역상 대수 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 어떤 조건에서 원리 대수의 균일 닫힘값이 연속 함수 공간 또는 고정점에서 0이 되는 최대 이상수에 대해 조밀한가?
• RQ5 비선형 시스템의 임의의 연속 관측량이 쿠퍼만 고유함수로의 스펙트럼 전개를 갖는 함수들에 의해 균일하게 근사가 가능한가?

주요 결과

• 쿠퍼만 연산자의 원리 고유함수들은 모든 원소에 대해 스펙트럼 전개를 지원하는 가환 대수(원리 대수)를 생성한다.
• 시스템이 실수이고 유한차원이며, 동형성이 정규형 이론을 통해 구성되는 조건에서, 원리 대수는 점들을 분리하고 복소수 켤라위션에 대해 닫혀 있다.
• 고정점 근방의 컴팩트 이웃에서, 원리 대수의 균일 닫힘값은 상수항이 포함되어 있으면 복소수 연속 함수 공간과 일치하거나, 고정점에서 0이 되는 최대 이상수와 일치한다.
• 역상 대수—원리 대수와 위상 동형성의 역함수를 조합하여 형성된 대수—는 동일한 균일 닫힘 성질을 물려받으며, 이에 따라 역상 대수의 모든 원소도 스펙트럼 전개를 갖는다.
• 비선형 시스템의 임의의 연속 관측량은 역상 대수의 함수들에 의해 균일하게 근사가 가능하므로, 이는 쿠퍼만 고유함수로의 스펙트럼 전개를 갖는 함수들에 의한 근사임을 의미한다.
• 이 구성은 존재하는 위상 동형성 하에서 선형 시스템의 스펙트럼 구조를 비선형 시스템으로 이전시키며, 임의의 연속 관측량에 대한 스펙트럼 표현 가능성을 보장한다.