[논문 리뷰] Krylov complexity and Trotter transitions in unitary circuit dynamics

Philippe Suchsland, Roderich Moessner외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 07.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 혼돈과 연산자 복잡도를 측정하는 Krylov 복잡도를 정적 해밀토니안이 없는 단위 연산 회로 동역학으로 확장한다. 특히 해밀토니안 시스템에서 유도된 트로터화된 회로를 대상으로 한다. 두 가지 다른 영역을 식별한다: 작은 트로터 단계에서는 동역학이 해밀토니안 행동을 복원하며 Krylov 복잡도 증가가 최대가 된다. 큰 단계에서는 최대로 에르고딕한 연산자들이 나타나며, 자기상관 함수가 0에 수렴하고 기억이 없는 열원처럼 행동한다. 혼돈 시스템에서는 전이가 교차점에 해당하고, 적분 가능 시스템에서는 비해석적 전이가 발생한다.

ABSTRACT

We investigate many-body dynamics where the evolution is governed by unitary circuits through the lens of `Krylov complexity', a recently proposed measure of complexity and quantum chaos. We extend the formalism of Krylov complexity to unitary circuit dynamics and focus on Floquet circuits arising as the Trotter decomposition of Hamiltonian dynamics. For short Trotter steps the results from Hamiltonian dynamics are recovered, whereas a large Trotter step results in different universal behavior characterized by the existence of local maximally ergodic operators: operators with vanishing autocorrelation functions, as exemplified in dual-unitary circuits. These operators exhibit maximal complexity growth, act as a memoryless bath for the dynamics, and can be directly probed in current quantum computing setups. These two regimes are separated by a crossover in chaotic systems. Conversely, we find that free integrable systems exhibit a nonanalytic transition between these different regimes, where maximally ergodic operators appear at a critical Trotter step.

연구 동기 및 목표

• 기존에 해밀토니안 동역학에 적용된 Krylov 복잡도 프레임워크를 정적 해밀토니안이 없는 단위 회로 동역학으로 일반화하기.
• 해밀토니안 동역학의 트로터화가 단위 회로 내 연산자 복잡도와 에르고딕성에 미치는 영향를 조사하기.
• 다양한 트로터 단계 크기에서 Krylov 복잡도 증가의 보편적 행동을 식별하고, 혼돈 시스템과 적분 가능 시스템을 구분하기.
• 자기상관 함수가 0에 수렴하는 최대로 에르고딕한 연산자(기억이 없는 열원으로 기능하는 연산자)의 등장을 특성화하기.
• 변동하는 트로터 단계에서 혼돈 시스템과 적분 가능 시스템 간 영역 간 전이의 차이를 탐구하며, 혼돈에서는 교차점 전이, 적분 가능성에서는 비해석적 전이를 규명하기.

제안 방법

• 반복적으로 진화된 연산자의 그람-슈미트 정규직교화를 통해 단위 회로 동역학에 대한 Krylov 부분공간을 정의한다.
• 해밀토니안 동역학의 트로터 분해를 통해 얻은 플로케트 회로에 Krylov 복잡도 형식을 적용한다.
• 시간 진동수 공간의 페르미온 표현을 사용하여 시간 진동수 연산자를 대각화하고 자기상관 함수를 계산한다.
• 단위 회로에서 초기 국소 연산자의 시간 진동수를 분석하여 Krylov 기저 연산자와 그 복잡도 증가를 계산한다.
• 행렬 진동수와 고유값 분해를 사용하여 운동량 공간에서 초기 연산자의 자기상관 함수에 대한 정확한 표현을 유도한다.
• 큰 트로터 단계에서 자기상관 함수가 0에 수렴함으로써 최대로 에르고딕한 연산자가 나타나는 것을 확인하고, 이는 랜덤 매트릭스 이론 예측과 연결된다.

Figure 1: Representation of operator growth as dynamics on a semi-infinite one-dimensional chain in the Krylov subspace. a) For Hamiltonian dynamics the Krylov dynamics reduces to a nearest-neighbor hopping model with hopping coefficients $\tilde{b}_{n}$ . b) For unitary circuit dynamics the hopping

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트로터화를 통해 해밀토니안 동역학에서 유도된 단위 회로에서 Krylov 복잡도는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 큰 트로터 단계에서 Krylov 복잡도에 어떤 보편적 행동이 나타나며, 이는 작은 단계 해밀토니안 근사와 어떻게 다를까?
• RQ3 언제 어떤 조건에서 자기상관 함수가 0이 되는 최대로 에르고딕한 연산자(기억이 없는 열원으로 기능하는 연산자)가 단위 회로에서 나타나는가?
• RQ4 다양한 트로터 단계에서 혼돈 시스템과 적분 가능 시스템 간 영역 전이의 차이는 어떻게 다른가?
• RQ5 Krylov 복잡도 프레임워크는 해밀토니안 동역학을 초월하여 일반적인 단위 회로 모델로도 확장 가능한가?

주요 결과

• 작은 트로터 단계에서는 Krylov 복잡도 증가가 해밀토니안 동역학에서 관찰된 보편적 행동을 회복하며, Krylov 부분공간 내에서 최대 증가와 확산이 발생한다.
• 큰 트로터 단계에서는 최대로 에르고딕한 연산자들이 나타나며, 이는 즉각적인 자기상관 함수가 0이 되는 연산자로, 동역학에 대해 기억이 없는 열원으로 작용한다.
• 이 최대로 에르고딕한 연산자들은 Krylov 복잡도 증가가 보편적 형태로趋로 도달함을 특성화하며, 이는 랜덤 매트릭스 이론의 예측과 일치한다.
• 혼돈 시스템에서는 작은 단계와 큰 단계 영역 간 전이가 교차점으로 나타나며, 복잡도 증가 행동에 뚜렷한 변화가 있다.
• 적분 가능 시스템에서는 전이가 비해석적이며, 최대로 에르고딕한 연산자가 나타나는 임계 트로터 단계에서 발생한다. 이는 동역학의 본질적 변화를 암시한다.
• 국소 스핀 연산자의 자기상관 함수에 대한 정확한 해는 운동량 공간 페르미온화와 행렬 진동수 기법을 사용하여 유도되었으며, 이는 큰 단계에서 최대 에르고딕성의 등장을 확인한다.

Figure 2: The unitary superoperator $\mathcal{U}$ [Eq. ( 14 )] describing the evolution of the initial operator $|O_{0})\propto\sum_{j\in\mathbb{Z}}\sigma^{z}_{2j}$ under dual-unitary two-site gates. Here $\mathcal{U}$ is given in the Krylov basis, which is generated by orthonormalisation of $\{\mat