[논문 리뷰] Krylov Complexity in Open Quantum Systems

Chang Liu, Tang Haifeng외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 27.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Krylov 복잡도를 열린 양자 시스템으로 일반화하며, 이를 반무한 체인 위의 비헤르미트 tight-binding 모형으로 매핑함으로써, 해밀토니안 진동 대신 린드블라adian 동역학을 도입한다. 비헤르미트 항은 Krylov 기저 인덱스에 따라 선형적으로 증가하여 국소화된 가장자리 모드를 유도하며, 이는 Krylov 복잡도의 증가를 억제하고, 소산에 의해 유도되는 붕괴로 인해 닫힌 시스템보다 훨씬 작은 유한한 값으로趋음한다.

ABSTRACT

Krylov complexity is a novel measure of operator complexity that exhibits universal behavior and bounds a large class of other measures. In this letter, we generalize Krylov complexity from a closed system to an open system coupled to a Markovian bath, where Lindbladian evolution replaces Hamiltonian evolution. We show that Krylov complexity in open systems can be mapped to a non-hermitian tight-binding model in a half-infinite chain. We discuss the properties of the non-hermitian terms and show that the strengths of the non-hermitian terms increase linearly with the increase of the Krylov basis index $n$. Such a non-hermitian tight-binding model can exhibit localized edge modes that determine the long-time behavior of Krylov complexity. Hence, the growth of Krylov complexity is suppressed by dissipation, and at long-time, Krylov complexity saturates at a finite value much smaller than that of a closed system with the same Hamitonian. Our conclusions are supported by numerical results on several models, such as the Sachdev-Ye-Kitaev model and the interacting fermion model. Our work provides insights for discussing complexity, chaos, and holography for open quantum systems.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 양자 시스템에서 정의된 Krylov 복잡도 개념을 린드블라adian 동역학에 의해 지배되는 열린 시스템으로 확장하기 위해.
• 마르코프성 백업을 통해 모델링된 소산이 Krylov 기저에서 연산자 복잡도의 증가와 포화에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 열린 시스템에서 Krylov 복잡도와 반무한 체인 위의 비헤르미트 tight-binding 모형 사이의 매핑을 수립하기 위해.
• 비헤르미트 가장자리 모드가 Krylov 복잡도의 장기적 행동을 결정하는 데 수행하는 역할를 규명하기 위해.
• 열린 양자 시스템에서 복잡도, 혼돈, 헬로그래피를 연구하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• Krylov 기저를 사용하여 린드블라adian 연산자 진동을 반무한 체인 위의 비헤르미트 tight-binding 모형으로 매핑한다.
• 기준 연산자에 대한 반복 초연산자 작용의 그램-슈미트 수직화를 통해 Krylov 기저를 정의한다.
• Lanczos 계수 bₙ 와 붕괴율 dₙ 를 갖는 비헤르미트 슈뢰딩거 유사 방정식을 사용하여 Krylov 진폭 φₙ(t) 의 시간 진동을 모델링한다.
• 비헤르미트 항 dₙ = β_d + α_d n 가 스케일 nₛ 까지 선형 증가하고, 그 이상에서는趋于함을 가정한다.
• 비헤르미트 해밀토니안의 스펙트럼을 분석하여 장기적 역학을 지배하는 큰 허수부를 가진 가장자리 모드를 식별한다.
• SYK 및 상호작용하는 페르미온 시스템과 같은 모델에서 수치 시뮬레이션을 수행하여 분석적 매핑과 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마르코프성 백업을 통한 소산의 포함이 열린 양자 시스템에서 Krylov 복잡도의 증가에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 열린 시스템에서 Krylov 복잡도는 비헤르미트 tight-binding 모형으로 매핑될 수 있으며, 이 매핑의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ3 비헤르미트 가장자리 모드는 Krylov 복잡도의 장기적 포화값을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 린드블라adian 결합 강도가 비헤르미트 모형의 스펙트럼 갭 형성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 시스템 크기(문자 nₛ 로 특징지어짐)에 따라 임계 소산 강도 γ_c 는 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 열린 시스템에서 Krylov 복잡도는 소산으로 인해 억제되며, 이로 인해 닫힌 시스템과 비교해 훨씬 작은 유한한 값으로 포화된다.
• Krylov 복잡도의 장기적 행동은 비헤르미트 tight-binding 모형에서 나타나는 국소화된 가장자리 모드에 의해 지배되며, 이는 비헤르미트 스킨 효과로 인해 발생한다.
• 효과적 해밀토니안의 비헤르미트 항은 Krylov 기저 인덱스 n 에 따라 선형적으로 증가하여 고복잡도 연산자에 대한 붕괴율이 증가하게 된다.
• 소산 강도 γ > γ_c 일 경우 비헤르미트 스펙트럼에 갭이 나타나며, 갭 이하의 모드가 장기적 역학을 지배한다.
• 임계 소산 강도 γ_c 는 γ_c ∼ 1/nₛ^0.85 로 스케일링되며, 이는 열역학적 한계(nₛ → ∞)에서 γ_c → 0 이 되므로 무한한 시스템에서도 가장자리 모드가 유지됨을 의미한다.
• Sachdev-Ye-Kitaev 및 상호작용하는 페르미온 모델에 대한 수치 결과는 복잡도 증가 억제 및 포화에 대한 분석 예측을 확인한다.