[논문 리뷰] Krylov Complexity in Quantum Field Theory

Kiran Adhikari, Sayantan Choudhury외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 05.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자장론(QFT)에서 연산자 진화 복잡도의 모호함이 없는 측정법으로 Krylov 복잡도를 도입하며, Krylov 기저가 Fock 기저와 일치할 경우 평균 입자 수와 일치함을 보여주어 체적 스케일링을 나타낸다. 자유 스칼라 장론 이론에서 Krylov 복잡도는 히알로그래픽 '복잡도 = 체적' 추측과 정성적으로 유사성을 보이며, QFT 내 복잡도와 배경 중력 물리학 사이의 깊은 연결성을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Krylov complexity in quantum field theory and make a connection with the holographic "Complexity equals Volume" conjecture. When Krylov basis matches with Fock basis, for several interesting settings, we observe that the Krylov complexity equals the average particle number showing that complexity scales with volume. Using similar formalism, we compute the Krylov complexity for free scalar field theory and find surprising similarities with holography. We also extend this framework for field theory where an inverted oscillator appears naturally and explore its chaotic behavior.

연구 동기 및 목표

• Nielsen의 회로 복잡도에서 발생하는 모호함을 피하기 위해 Krylov 복잡도를 양자장론에서 신뢰할 수 있고 모호하지 않은 복잡도 측정법으로 정립하는 것.
• QFT에서 Krylov 복잡도가 히알로그래픽 '복잡도 = 체적' 추측과 일치하는 스케일링 행동을 보이는지 조사하는 것.
• 자유 스칼라 장론 이론에서 Krylov 복잡도를 계산하고, 그 행동을 히알로그래픽 예측과 비교하는 것.
• 역방향 진동자(인verted oscillator)를 포함한 장론 이론에서의 혼돈 동역학을 Krylov 복잡도를 탐사도구로 사용하여 탐구하는 것.

제안 방법

• 시간 진동을 Heisenberg 연산자의 중첩된 교환자(commutator)를 통해 생성하는 Liouvillian 초연산자 $\mathcal{L}_H$ 를 통한 Krylov 복잡도의 수학적 정립.
• Liouvillian에 적용된 Lanczos 알고리즘을 통해 정규직교 Krylov 기저를 구성함으로써, 연산자 공간의 단순화된 힐버트 공간 내에서 유니터리 진동을 가능하게 하는 방법.
• 시간에 따라 진동하는 연산자의 Krylov 기저 전개에서의 계수 $\phi_n(t)$ 를 사용해 Krylov 복잡도를 $K = \sum_n n |\phi_n(t)|^2$ 로 정의하는 것.
• 이론을 이산화한 연결된 조화 진동자로 나누어, 격자상의 자유 스칼라 장론 이론에서 Krylov 복잡도를 계산하고 정규 모드 분해를 통해 해를 구하는 것.
• 비에르미트성 또는 비직교성 초기 상태에서도 Lanczos 절차의 일관성을 확보하기 위해 연산자 공간 내의 내적을 Wightman 노름으로 정의하는 것.
• 혼돈 행동을 탐지하기 위해 Lanczos 계수 $b_n$ 을 분석하며, 선형 증가 $b_n \leq \epsilon n + \eta$ 는 리아풀로프 유사 혼돈을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QFT에서 Krylov 복잡도는 '복잡도 = 체적' 추측이 예측하는 바와 같이 체적 스케일링을 보이는가?
• RQ2 격자상의 자유 스칼라 장론 이론에서 Krylov 복잡도는 히알로그래픽 복잡도 예측과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 Krylov 기저가 언제 Fock 기저와 일치하는가? 이는 복잡도 스케일링에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 Krylov 복잡도는 역방향 진동자 포텐셜을 포함한 장론 이론에서 혼돈 동역학을 탐지할 수 있는가?
• RQ5 Krylov 복잡도는 고에너지 물리학 및 중력 물리학에서 Nielsen의 회로 복잡도에 대한 실현 가능하고 모호하지 않은 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• Krylov 기저가 Fock 기저와 일치할 경우, Krylov 복잡도는 평균 입자 수와 동일하며, 이는 QFT 내 체적 스케일링과 직접적인 연결을 제공한다.
• 격자상의 자유 스칼라 장론 이론에서 Krylov 복잡도는 시간 진동 프로파일 측면에서 히알로그래픽 복잡도와 정성적으로 일치함을 보였다.
• Wightman 노름을 사용한 Lanczos 알고리즘이 안정적인 정규직교 Krylov 기저를 성공적으로 구성하였으며, 이는 장론적 설정에서 복잡도의 수치 계산 가능성을 보장한다.
• Lanczos 계수 $b_n$ 은 선형 증가 $b_n \leq \epsilon n + \eta$ 를 보이며, 이는 역방향 진동자를 포함한 시스템에서 혼돈 동역학을 시사한다.
• Lanczos 계수에서 유도된 리아풀로프 지수 $\gamma = 2\epsilon$ 는 이 방법이 장론 이론 내 양자 혼돈을 탐지할 수 있음을 확인한다.
• 게이트 선택, 기준 상태, 허용 오차 파rameter에 의존하지 않기 때문에 Krylov 복잡도는 Nielsen의 회로 복잡도의 모호함을 피한다.