[논문 리뷰] Kuranishi bordism and Kuranishi homology

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 24.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 게이지 고정 데이터를 갖춘 쿠라니시 공간을 사용하여 오르비폴드에 대한 쿠라니시 호몰로지 및 코호몰로지 이론을 도입하며, 이들이 각각 특이 호몰로지 및 컴act 지지 코호몰로지와 서로 미분형임을 증명한다. 이 이론은 심플렉틱 기하학에서 가상 사이클 구성의 단순화를 위한 다섯 가지 새로운 보르드이즘 이론을 정의하며, 편향 또는 교차성 조건이 필요 없이 고파쿠마르-바나 인버리언트의 정수성 결과를 도출할 수 있게 한다.

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. Let Y be an orbifold and R a commutative ring or Q-algebra. We define two kinds of Kuranishi homology KH_*(Y;R). The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G gauge-fixing data which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that these are isomorphic to singular homology. We define Poincare dual Kuranishi cohomology, isomorphic to compactly-supported cohomology. We define five kinds of Kuranishi (co)bordism spanned by isomorphism classes[X,f] for X a compact oriented Kuranishi space without boundary and f : X --> Y smooth. They are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology. We define new Gromov-Witten type invariants in Kuranishi bordism, over Z not Q. We sketch how these may be used to prove the integrality conjecture for Gopakumar-Vafa invariants. This paper is surveyed in arXiv:0710.5634.

연구 동기 및 목표

• 쿠라니시 구조를 사용하여 오르비폴드에 대한 새로운 호몰로지 및 코호몰로지 이론을 정의하기 위해.
• 심플렉틱 모듈리 공간의 불변량으로서 쿠라니시 보르드이즘 이론을 구축하기 위해.
• J-홀로모르픽 커브의 가상 사이클을 정의할 때 편향 및 교차성 조건이 필요 없도록 하기 위해.
• 정수 위에서 쿠라니시 보르드이즘을 통해 고파쿠마르-바나 인버리언트의 정수성을 확립하기 위해.
• 교차성 장애 없이 라그랑주 플로어 코호몰로지의 불변량을 계산하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 경계가 있는 컴팩트하고 올바르게 방향이 정해진 쿠라니시 공간 X, 매끄러운 사상 f:X→Y, 그리고 유한한 자동형군을 제공하는 G로 생성된 등급 클래스 [X,f,G] 가로 펼쳐진 체인 복합체 KC_*(Y;R) 를 정의한다.
• 게이지 고정 데이터 G 를 사용하여 자동형군의 유한성을 확보함으로써 잘 정의된 대수적 구조를 가능하게 한다.
• 이 체인 복합체의 호몰로지로서 R 위에서 쿠라니시 호몰로지 KH_*(Y;R) 를 정의한다.
• 컴팩트 지지 코호몰로지와 동형인 푸앵카레 쌍대 쿠라니시 코호몰로지 정의.
• 경계가 없는 쿠라니시 공간에 대한 등급 클래스 [X,f] 를 사용하여 다섯 가지 서로 다른 쿠라니시 보르드이즘 이론을 정의한다.
• 표준적인 편향 기법을 피하는 Z 위에서 그로모프-위튼 유형의 불변량을 정의하기 위해 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠라니시 구조를 사용하여 고전적인 특이 호몰로지 및 컴팩트 지지 코호몰로지와 동형인 호몰로지 및 코호몰로지 이론을 정의할 수 있는가?
• RQ2 쿠라니시 보르드이즘 이론은 심플렉틱 기하학에서 기존의 보르드이즘 불변량과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 J-홀로모르픽 커브의 모듈리 공간에서 가상 사이클을 편향 또는 교차성 조건 없이 정의할 수 있는가?
• RQ4 정수 위에서 쿠라니시 보르드이즘을 사용하여 고파쿠마르-바나 인버리언트의 정수성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 쿠라니시 공간 불변량의 자동형군을 안정화시키는 데 있어 게이지 고정 데이터의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 쿠라니시 호몰로지 KH_*(Y;R) 는 오르비폴드 Y 의 특이 호몰로지와 동형이다.
• 푸앵카레 쌍대 쿠라니시 코호몰로지 는 Y 의 컴팩트 지지 코호몰로지와 동형이다.
• 다섯 가지 서로 다른 쿠라니시 보르드이즘 이론이 정의되었으며, 각각 쿠라니시 공간의 구조적 특성을 다른 방식으로 포착한다.
• 이 이론은 편향 없이 가상 사이클을 직접 정의할 수 있게 하여 심플렉틱 기하학의 구성 과정을 단순화한다.
• Z 위에서 정의된 새로운 그로모프-위튼 유형의 불변량이 존재하며, 이는 고파쿠마르-바나 인버리언트의 정수성 추측을 증명하는 길을 열어준다.
• 교차성 문제 없이 라그랑주 플로어 코호몰로지의 계산을 크게 단순화한다.