[논문 리뷰] Kuranishi homology and Kuranishi cohomology: a User's Guide

Dominic Joyce|ArXiv.org|2007. 10. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 게이지 고정 데이터를 갖춘 컴팩트하고 옹호된 쿠라니시 공간으로 구성된 체인을 사용하여 오르비폴드에 대한 새로운 호모로지 이론인 쿠라니시 호모로지와 코호모로지의 정의를 제시한다. 이는 쿠라니시 호모로지가 싱귤러 호모로지와, 쿠라니시 코호모로지가 컴팩트하게 지지된 코호모로지와 동형임을 증명하며, 펄루이션 없이 심플렉틱 기하학에서 가상 사이클을 구성하는 데 간소화된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. This paper is a brief introduction to the author's book arXiv:0707.3572. Let Y be an orbifold and R a Q-algebra. We define the Kuranishi homology KH_*(Y;R) of Y with coefficients in R. The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G "gauge-fixing data" which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that KH_*(Y;R) is isomorphic to singular homology. We define a Poincare dual theory of Kuranishi cohomology KH^*(Y;R), isomorphic to compactly-supported cohomology, using a cochain complex KC^*(Y;R) spanned over R by [X,f,C], for X a compact Kuranishi space with corners, f : X --> Y a submersion, and C "co-gauge-fixing data". We also define simpler theories of Kuranishi bordism KB_*(Y;R) and Kuranishi cobordism KB^*(Y;R), for R a commutative ring. These are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology.

연구 동기 및 목표

• 쿠라니시 공간과 게이지 고정 데이터를 사용하여 오르비폴드에 대한 새로운 호모로지 이론인 쿠라니시 호모로지를 개발하는 것.
• 쿠라니시 호모로지와 싱귤러 호모로지 사이, 쿠라니시 코호모로지와 컴팩트하게 지지된 코호모로지 사이의 동형관계를 확립하는 것.
• Gromov–Witten 불변량에 대해 ℤ 계수를 사용하는 데 유용한 도구로 쿠라니시 경계론과 코경계론을 도입하는 것.
• 모듈리 공간의 펄루이션 없이도 직접 쿠라니시(코)경계론 내에서 Gromov–Witten 불변량을 정의할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.
• 오르비폴드 스트라타에서 유래하는 유리수 기여를 정수 불변량에 포괄함으로써 Gopakumar–Vafa 정수성 추측을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 쿠라니시 공간 X(모서리가 있는 컴팩트하고 옹호된 공간), 강한 미분 가능 함수 f: X → Y, 그리고 유한한 자동형군을 보장하는 게이지 고정 데이터 G를 포함하는 동치류 [X, f, G]로 생성되는 체인 복합체를 통해 쿠라니시 호모로지를 정의한다.
• 공오riented 강한 서브머전과 코-게이지 고정 데이터를 사용한 코체인 복합체를 통해 쿠라니시 코호모로지를 구성한다.
• 체인 수준의 구성으로 쿠라니시 호모로지 KH_*(Y;ℚ)가 싱귤러 호모로지 H_*^si(Y;ℚ)와 동형임을 증명한다.
• 쿠라니시 호모로지와 코호모로지 사이의 포incare dualit를 확립하여 KH^*(Y;ℚ) ≅ H^*_cs(Y;ℚ)임을 보인다.
• 가환환 R에 대해 쿠라니시 경계론 KB_*(Y;R)과 코경계론 KB^*(Y;R)을 정의하며, 경계 관계에 대한 동치류를 사용한다.
• 차수 Γ가 홀수인 유한군 Γ와 비자명한 가상 표현 ρ를 갖는 오르비폴드 스트라타 구성 X^{Γ,ρ}를 사용하여 사영 사상 정의 및 ℤ 위에서 쿠라니시(코)경계론 군의 무한 생성성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠라니시 공간과 게이지 고정 데이터를 사용하여 오르비폴드에 대해 잘 정의된 호모로지 이론으로서 쿠라니시 호모로지를 구성할 수 있는가?
• RQ2 쿠라니시 호모로지가 싱귤러 호모로지와 동형이며, 쿠라니시 코호모로지가 컴팩트하게 지지된 코호모로지와 동형인가?
• RQ3 쿠라니시 경계론이 오르비폴드 스트라타에서 기인하는 유리수 기여를 포함하는 정수 불변량을 제공할 수 있는가?
• RQ4 쿠라니시(코)경계론 군이 ℤ 위에서 무한 생성되는 것은 Gromov–Witten 불변량의 더 깊은 정수성 성질을 반영하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 심플렉틱 토폴로지에서 펄루이션 기반의 가상 사이클 구성 방식을 대체할 수 있는가?

주요 결과

• 쿠라니시 호모로지 KH_*(Y;ℚ)는 싱귤러 호모로지 H_*^si(Y;ℚ)와 동형이며, 쿠라니시 코호모로지 KH^*(Y;ℚ)는 컴팩트하게 지지된 코호모로지 H^*_cs(Y;ℚ)와 동형이다.
• 비어 있지 않고 연결된 오르비폴드 Y에 대해, 모든 k ∈ ℤ 에 대해 쿠라니시 경계론 군 KB_*(Y;ℤ)는 ℤ 위에서 무한 생성된다.
• 차원이 n인 옹호된 오르비폴드 Y에 대해, 모든 k ∈ ℤ 에 대해 쿠라니시 코경계론 군 KB^{n-2k}(Y;ℤ)는 ℤ 위에서 무한 생성된다.
• |Γ|가 홀수이고 비자명한 가상 표현 ρ를 갖는 유한군 Γ에 대해, 클래스 C^{Γ,ρ} ∈ KB_{dim ρ}(Y;ℤ)는 ℤ 위에서 선형 독립이다.
• 쿠라니시 경계론 KB_*(M^m;ℤ) 내에서 정의된 Gromov–Witten 불변량은 그 싱귤러 호모로지 대응체보다 더 많은 정보를 포함하며, 오르비폴드 스트라타의 기여를 포함한다.
• 이 프레임워크는 유리수 계수 없이도 정수 Gromov–Witten 불변량을 가능하게 하여 Gopakumar–Vafa 정수성 추측을 지지한다.