[논문 리뷰] Kuratowski's Theorem for Two Closure Operators

Jeffrey Shallit, Ross Willard|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 06.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산을 고려할 때 쿠라토프스키의 고전적 14세트 정리의 일반화를 제시한다. 단일 닫힘 연산자에서는 반복적인 여집합과 닫힘 연산을 통해 최대 14개의 서로 다른 집합을 얻을 수 있지만, 저자들은 두 개의 가환하는 닫힘 연산자가 존재할 경우, 비록 연산 간에 무수히 많은 항등식이 존재하더라도 무한히 많은 서로 다른 집합을 생성할 수 있음을 증명한다. 핵심 기여는 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산으로 생성되는 모노이드가 유한하지 않을 수 있음을 보여주는 데 있다. 이는 단일 닫힘 연산자의 경우와는 뚜렷이 대비된다.

ABSTRACT

A celebrated 1922 theorem of Kuratowski states that there are at most 14 distinct sets arising from applying the operations of complementation and closure, any number of times, in any order, to a subset of a topological space. In this paper we consider the case of complementation and two abstract closure operators. In contrast to the case of a single closure operation, we show that infinitely many distinct sets can be generated, even when the closure operators commute.

연구 동기 및 목표

• 추상적 맥락에서 여집합과 두 개의 닫힘 연산자로 생성되는 모노이드의 구조를 조사하는 것.
• 두 개의 닫힘 연산자가 가환할 경우, 단일 연산자 경우와 마찬가지로 모노이드가 여전히 유한한지 판단하는 것.
• 닫힘 연산자가 가환할 경우에 새로운 연산 간의 항등식을 규명하는 것.
• 가환성 조건 하에서도 모노이드가 무한해지는 명시적 예를 제시하는 것.
• 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산의 등식 이론의 결정 가능성과 유한 표현 가능성에 대한 탐구.

제안 방법

• 저자들은 표준 공리(axioms)를 만족하는 닫힘 연산자들을 정의한다: 확대성, 단조성, 등幂성.
• 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산을 위한 형식적 등식 이론 T_2com 를 도입한다.
• 집합 {p, q, pq} 에서의 연산자 시퀀스에 대해, 단어 pqca₁ca₂⋯ca₂ₙcpq 는 pqcpq 와 동치임을 증명하여, 무한히 많은 항등식의 가족을 확립한다.
• 정수 집합 ℤ ∪ {⊤, ⊥} 위에 네 쌍의 가환하는 닫힘 연산자 pᵢⱼ, qᵢⱼ 를 정의하여 전역 닫힘 연산자 p 와 q 를 구성한다.
• 특정 초기 집합 A = {0, ⊤} 을 사용하여 wₙ = (cpcpcqcq)ⁿ 의 반복 적용이 서로 다른 집합 {2n, ⊤} 을 생성함을 보여, 무한성을 입증한다.
• c-균형 잡힌 단어의 구조를 분석하고, 이를 등식 이론 T_2com 의 표현식과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산으로 생성되는 모노이드는 단일 연산자 경우와 마찬가지로 여전히 유한한가?
• RQ2 두 개의 가환하는 닫힘 연산자에 대해 무수히 많은 항등식을 도출할 수 있으며, 그 구조는 어떠한가?
• RQ3 가환하는 닫힘 연산자에 대한 모든 항등식을 유도할 수 있는 유한한 항등식 집합이 존재하는가?
• RQ4 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산의 등식 이론은 결정 가능한가?
• RQ5 c, p, q 를 생성자로 하고 등식 이론의 관계를 갖는 모노이드는 유한하게 표현 가능한가?

주요 결과

• 두 개의 가환하는 닫힘 연산자와 여집합 연산으로 생성되는 모노이드는 연산자가 가환하더라도 무한해질 수 있다.
• 모든 n ≥ 1 과 시퀀스 a₁,…,a₂ₙ ∈ {p, q, pq} 에 대해 항등식 pqca₁ca₂⋯ca₂ₙcpq ≡ pqcpq 가 성립하며, 이는 무한히 많은 항등식의 가족을 이룬다.
• S = ℤ ∪ {⊤, ⊥} 위에서 가환하는 닫힘 연산자 p 와 q 를 사용한 명시적 구성은 wₙ = (cpcpcqcq)ⁿ 의 반복 적용으로 인해 무한히 많은 서로 다른 집합을 생성한다.
• A = {0, ⊤} 일 때, {wₙ(A) | n ≥ 1} 이 무한하므로, 이는 모노이드가 유한하지 않음을 보여준다.
• 등식 이론 T_2com 는 가환하는 닫힘 연산자에 대해 유효한 모든 항등식을 포괄하며, 논문은 이 이론으로부터 항등식을 도출할 수 있음을 보여준다.
• 논문은 등식 이론의 결정 가능성 또는 유한 표현 가능성 여부는 열려 있지만, 무한히 많은 항등식과 무한한 모노이드의 존재를 증명한다.