[논문 리뷰] $L^1$-Stability of Vortex Sheets and Entropy Waves in Steady Compressible Supersonic Euler Flows over Lipschitz Walls

Gui‐Qiang Chen, Vaibhav Kukreja|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 20.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L^1$-안정성에 대해 압축성 난류판과 두께가 있는 벽면에서의 엔트로피파를 두 차원 정상 초음속 오일러 유동에서 $BV$-정규성 있는 유입 흐름을 가진 리프시츠 벽면에서 설정한다. 파동면 추적과 특수하게 설계된 리아푸노프 함수를 사용하여, 총 변동량이 충분히 작은 경우의 전역 존재성, 유일성 및 $L^1$-안정성을 증명한다.

ABSTRACT

We study the well-posedness of compressible vortex sheets and entropy waves in two-dimensional steady supersonic Euler flows over Lipschitz walls with $BV$ incoming flows. Both the Lipschitz wall of $BV$ tangential angle function and the $BV$ incoming flow perturb a background strong vortex sheet/entropy wave. In particular, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is small, we prove that the two-dimensional steady supersonic Euler flows containing a strong vortex sheet/entropy wave past the Lipschitz wall are $L^{1}$--stable. The weak waves are reflected after the nonlinear waves interact with the strong vortex sheet/entropy wave and the wall boundary. Using the wave-front tracking method, the existence of solutions in $BV$ over the Lipschitz walls is first shown, when the total variation of the incoming flow perturbation around the background strong vortex sheet/entropy wave is suitably small. Then we establish the $L^{1}$--stability of the solutions with respect to the incoming flows. To achieve this, a Lyapunov functional, equivalent to the $L^{1}$--distance between two solutions containing the strong vortex sheets/entropy waves, is carefully constructed to include the nonlinear waves generated by both the wall boundary and the incoming flow. This Lyapunov functional is then proved to decrease in the flow direction, leading to the $L^{1}$--stability of the solutions. Furthermore, the uniqueness of these solutions extends to a larger class of viscosity solutions.

연구 동기 및 목표

• 압축성 난류판과 엔트로피파의 잘 정의된 문제를 리프시츠 벽면에서 $BV$-유입 흐름을 가진 정상 초음속 오일러 유동에서 설정한다.
• 유입 흐름의 작은 $BV$ 편향에 대해 강한 난류판 또는 엔트로피파를 포함하는 해의 $L^1$-안정성을 증명한다.
• 파동면 추적 반군을 사용하여 점성 해의 더 넓은 범주로 엔트로피 해의 유일성을 확장한다.
• 흐름 방향에 따라 감소하는 $L^1$-거리와 동치인 리아푸노프 함수를 구성하여 안정성을 보장한다.
• 파동면 추적 반군이 표준 리만 반군과 일치함을 보여주어 점성 해 클래스에서의 유일성을 보장한다.

제안 방법

• 완전한 열역학적 관계를 포함하는 2차원 정상 오일러 시스템을 초순수 보존법칙의 하이퍼볼릭 시스템으로 기술한다.
• 파동면 추적 방법을 적용하여 $BV$ 공간에서 근사 해를 구성하고, 유입 편향의 총 변동량이 작을 경우 수렴성을 확보한다.
• 해 사이의 $L^1$-거리와 벽면 반사 및 유입 편향에 의해 생성된 비선형 파동을 모두 반영하는 리아푸노프 함수를 구성한다.
• 리아푸노프 함수가 흐름 방향에 따라 단조 감소함을 증명하여 해 반군의 $L^1$-안정성을 보장한다.
• 파동면 추적 스킴의 수렴성을 이용하여 $L^1$에서 리만-유사한 균일 리프시츠 반군 $\mathscr{S}$를 정의한다.
• 파동면 추적 반군과 표준 리만 반군이 동치임을 증명하여 점성 해 클래스에서의 유일성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 난류판 또는 엔트로피파를 포함하는 정상 초음속 오일러 유동이 리프시츠 벽면에서 $BV$-정규성 있는 접선 각도를 가지며, 유입 흐름의 총 변동량이 충분히 작을 경우, $L^1$-안정성을 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 파동면 추적 방법은 강한 난류판/엔트로피파와 리프시츠 벽면 경계 사이의 비선형 파동 간섭을 다룰 수 있는가?
• RQ3 파동면 추적 반군이 $L^1$-안정성의 맥락에서 표준 리만 반군과 동치인가?
• RQ4 유입 흐름 편향과 벽면 유도 비선형 파동을 모두 고려할 수 있는 리아푸노프 함수는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 제시된 조건 하에서 엔트로피 해의 유일성은 더 넓은 점성 해 클래스로 확장되는가?

주요 결과

• 강한 난류판 또는 엔트로피파를 포함하는 2차원 정상 초음속 오일러 유동의 초기-경계값 문제 해는 유입 $BV$ 편향의 총 변동량이 충분히 작을 경우 $L^1$-안정성이다.
• 파동면 추적 알고리즘은 $L^1$에서 코시 수열을 생성하며, 유일한 극한 해로 수렴하며, 이는 $L^1$에서 균일 리프시츠 반군 $\mathscr{S}$를 정의한다.
• 해 사이의 $L^1$-거리와 동치인 리아푸노프 함수를 구성하였으며, 이는 흐름 방향에 따라 단조 감소함을 보여 $L^1$-안정성을 증명한다.
• 파동면 추적 반군이 생성하는 반군 $\mathscr{S}$는 표준 리만 반군과 일치함을 보여 점성 해 클래스에서 엔트로피 해의 유일성을 보장한다.
• 해는 엔트로피 해에 한정되지 않고, 브레사노가 정의한 점성 해 클래스 전반에서 또한 유일하다.
• 결과는 등온류 및 등엔트로피류로 확장되며, 자유 경계를 가진 초순수 시스템에 대한 $L^1$-안정성 프레임워크의 강건성을 보여준다.