[논문 리뷰] L^2-Betti Numbers of Discrete Measured Groupoids

Roman Sauer|ArXiv.org|2003. 12. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 루크의 von Neumann 대수 위에서의 차원 이론을 사용하여 이산 측도 군화에서 L²-Betti 수를 호모로지 대수학적으로 정의한다. 이는 가산 군 G의 L²-Betti 수가 G의 자유 확률 측도 보존 작용에서 유도된 궤도 동치 관계 R의 L²-Betti 수와 일치함을 보여주며, 궤도 동치에 대한 L²-Betti 수의 불변성에 대한 새로운 대수적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

There are notions of L^2-Betti numbers for discrete groups (Cheeger-Gromov, Lueck), for type II_1-factors (recent work of Connes-Shlyakhtenko) and for countable standard equivalence relations (Gaboriau). Whereas the first two are algebraically defined using Lueck's dimension theory,Gaboriau's definition of the latter is inspired by the work of Cheeger and Gromov. In this article we give a definition of L^2-Betti numbers of discrete measured groupoids that is based on Lueck's dimension theory, thereby encompassing the cases of groups,equivalence relations and holonomy groupoids with an invariant measure for a complete transversal. We show that with our definition, like with Gaboriau's,the L^2-Betti numbers of a countable group G coincide with the L^2-Betti numbers of the orbit equivalence relation of a free action of G on a probability space. This yields a new proof of the fact the L^2-Betti numbers of groups with orbit equivalent actions coincide.

연구 동기 및 목표

• 이산 군, 가산 표준 동치 관계, 불변 측도를 가진 화살표 군화의 L²-Betti 수 정의를 통합하기 위해.
• 루크의 L²-Betti 수 대수적 프레임워크를 von Neumann 대수 차원 이론을 사용하여 이산 측도 군화의 설정으로 확장하기 위해.
• 군 작용과 그에 관련된 궤도 동치 관계 사이의 호모로지 대수학적 연결 고리 수립하기 위해.
• 가보리우의 기하적 구성에 의존하지 않고, 약한 궤도 동치에 대한 L²-Betti 수의 불변성에 대한 독립적이고 대수적인 증명 제공하기 위해.
• 군자기론적 방법을 통해 II₁-형 초월 대수의 L²-Betti 수와 관련된 동치 관계의 L²-Betti 수 간의 관계 탐색하기 위해.

제안 방법

• Lück의 $\mathcal{N}(G)$-차원을 사용하여 군화 von Neumann 대수 위의 모듈러스에 대해, 이산 측도 군화 $\underline{G}$의 L²-Betti 수를 $b^{(2)}_n(\underline{G}) = \dim_{\mathcal{N}(\underline{G})} \left( \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{C}\underline{G}} (\mathcal{N}(\underline{G}), L^\infty(\underline{G}^0)) \right)$ 로 정의한다.
• 군화 환 $\mathbb{C}\underline{G}$를 $L^\infty(\underline{G}^0)$-양면 모듈러스로 간주하여 von Neumann 대수 설정에서 차원을 정의하고 계산한다.
• 차원이 0임을 보일 수 있는 국소 기준을 적용하여 포함관계 $L^\infty(X) \ast G \subset \mathbb{C}\mathcal{R}$ 가 $\dim_{L^\infty(X)}$-동형사상임을 보이고, Tor 군 간 비교를 가능하게 한다.
• 교환곱 환 $L^\infty(X) \ast G$ 가 오른쪽 $\mathbb{C}G$-모듈러스로서 평탄함을 이용하여 $\mathbb{C}G$ 및 $L^\infty(X) \ast G$ 위에서의 $\operatorname{Tor}$ 군 간 관계를 설정한다.
• 호환 가능한 양면 모듈러스의 차원 보존 성질과 $\dim_{\mathcal{N}}$ 의 환 확장에 대한 이행성에 기반하여 $b^{(2)}_n(G)$ 와 $b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ 를 동치로 간주한다.
• Borel 부분집합 $A \subset \underline{G}^0$ 에 대해, 목표 사상에 의한 이미지가 전체 측도를 가질 때, 스케일링 공식 $b^{(2)}_n(\underline{G}) = \mu(A) \cdot b^{(2)}_n(\underline{G}_{|A})$ 가 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 측도 군화에 대해 L²-Betti 수를 정의할 수 있는 방법이 존재하는가? 이는 군, 동치 관계, II₁-형 초월 대수의 경우를 통합할 수 있는가?
• RQ2 가산 군 $G$ 의 L²-Betti 수가 $G$ 의 자유 확률 측도 보존 작용에서 유도된 궤도 동치 관계 $\mathcal{R}$ 의 L²-Betti 수와 일치하는가?
• RQ3 약한 궤도 동치에 대한 L²-Betti 수의 불변성은 가보리우의 기하적 구성에 의존하지 않는 호모로지 대수학적 프레임워크로부터 유도될 수 있는가?
• RQ4 $\mathcal{N}(\underline{G})$-차원 이론은 군화로 어떻게 확장되며, 어떤 구조적 성질(예: 차원 호환성)이 필요하는가?
• RQ5 포파의 II₁-형 초월 대수에 대한 $L^2$-Betti 수는 군화 구조를 통해 호모로지 프레임워크에 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 이산 측도 군화 $\underline{G}$ 의 L²-Betti 수는 $\dim_{\mathcal{N}(\underline{G})}$ 를 사용하여 $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb{C}\underline{G}}(\mathcal{N}(\underline{G}), L^\infty(\underline{G}^0))$ 에 대해 정의되며, 루크의 군론적 정의를 일반화한다.
• 핵심 결과인 $b^{(2)}_n(G) = b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ 는 호모로지 대수학을 통해 증명되며, 군과 그 궤도 동치 관계의 L²-Betti 수가 동일하다는 것을 보여준다.
• 모든 Borel 부분집합 $A \subset \underline{G}^0$ 에 대해, $t(s^{-1}(A))$ 가 전체 측도를 가질 때 스케일링 공식 $b^{(2)}_n(\underline{G}) = \mu(A) \cdot b^{(2)}_n(\underline{G}_{|A})$ 가 성립한다.
• 증명된 $b^{(2)}_n(G) = b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ 는 가보리우의 기하적 정의에 의존하지 않으며, 궤도 동치 불변성에 대한 새로운 대수적 시각을 제공한다.
• 결과적으로, 약한 궤도 동치인 군들은 $L^2$-Betti 수가 상수 배수인 관계를 가지며, 궤도 동치인 군들은 동일한 $L^2$-Betti 수를 가진다.
• 이 프레임워크는 콘네-슐랴크텐코의 II₁-형 초월 대수에 대한 $L^2$-Betti 수와 군화 호모로지를 통한 정의된 L²-Betti 수 사이 잠재적인 연결 고리를 시사한다.