[논문 리뷰] L^2-Betti numbers of locally compact groups and their cross section equivalence relations

David Kyed, Henrik Densing Petersen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 27.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유니모듈라로 국소적으로 컴act한 두 번 가측성 있는 (lcsc) 군 $G$의 $L^2$-베티 수가, $G$의 본질적으로 자유이고 에르고딕인 확률측도보존 작용의 횡단면 위에 유도된 가산 동치관계의 $L^2$-베티 수와 비례함을 증명한다. 비례 상수는 횡단면의 커버olume과 같다. 핵심 결과는 $G$의 감소형과 비감소형 $L^2$-베티 수가 일치하며, $G$에 있는 격자 $Γ$의 $L^2$-베티 수가 $G$의 것과 커버olume에 의해 스케일링된 비례 관계를 가짐을 보여준다. 이는 이산 군에 대한 기존 결과를 확장하며, 애먼 군에 대한 새로운 퇴화 정리들을 제공한다.

ABSTRACT

We prove that the L^2-Betti numbers of a unimodular locally compact group G coincide, up to a natural scaling constant, with the L^2-Betti numbers of the countable equivalence relation induced on a cross section of any essentially free ergodic probability measure preserving action of G. As a consequence, we obtain that the reduced and un-reduced L^2-Betti numbers of G agree and that the L^2-Betti numbers of a lattice Gamma in G equal those of G up to scaling by the covolume of Gamma in G. We also deduce several vanishing results, including the vanishing of the reduced L^2-cohomology for amenable locally compact groups.

연구 동기 및 목표

• 유니모듈라로 국소적으로 컴 pact한 군 $G$의 $L^2$-베티 수와 $G$의 본질적으로 자유이고 에르고딕인 확률측도보존 작용의 횡단면 위에 유도된 가산 동치관계의 $L^2$-베티 수 사이의 정확한 관계를 설정하는 것.
• 감소형과 비감소형 $L^2$-베티 수가 동일한지 증명하여, 국소적으로 컴 pact한 군에 대한 $L^2$-불변량 이론에서 핵심적인 질문을 해결하는 것.
• 격자 $Γ$의 $L^2$-베티 수가 $G$의 것과 비례함을 보여주며, 비례 상수는 $Γ$의 $G$에서의 커버olume과 같다.
• 특히 애먼 국소적으로 컴 pact한 군에 대해 $L^2$-베티 수와 감소형 코homology의 새로운 퇴화 결과를 이끌어내는 것.
• 횡단면 기법과 von Neumann 대수 위에서의 차원 이론을 사용하여, 이산 군에 대한 기존 결과를 유니모듈라 lcsc 군의 맥락으로 일반화하는 것.

제안 방법

• Folner의 기초적인 작업을 따르며, 자유이고 에르고딕인 확률측도보존 공간 위에서 작용하는 유니모듈라 lcsc 군에 대해 코어피 pact 횡단면의 존재를 활용한다.
• Lück의 tracial von Neumann 대수 위 모듈러스에 대한 차원 이론을 적용하여, 군 von Neumann 대수 $LG$ 계수를 갖는 $H^n(G, L^2(G))$의 Murray-von Neumann 차원으로서 $G$의 $L^2$-베티 수를 정의한다.
• Gaboriau의 가산 확률측도보존 동치관계에 대한 $L^2$-베티 수 이론을 활용하여, 횡단면 위에 유도된 동치관계 $Ω$에 대해 $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$를 정의한다.
• 행동 $G \times Y \to X$가 가산-일대일이고 전사임을 이용하여, 횡단면의 커버olume을 통해 $\beta^{n}_{(2)}(G)$와 $\beta^{n}_{(2)}(Ω)$ 사이의 비례 관계를 확립한다.
• 함수 $x \to (φ(x), π(x))$의 Borel 오른쪽 역함수를 사용하여, $X$ 위의 $G$-불변 함수를 $Y$ 위의 $Ω$-불변 함수로 연결함으로써 불변량의 이행을 가능하게 한다.
• 군 $G$가 애먼 것과 그에 대응하는 동치관계 $Ω$가 애먼 것 사이의 등가성을 증명하기 위해, $L^∞$-대수 위의 조건부 기대를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니모듈라 lcsc 군 $G$의 $L^2$-베티 수는 본질적으로 자유이고 에르고딕인 확률측도보존 작용의 횡단면 위에 유도된 가산 동치관계의 $L^2$-베티 수와 일치하는가?
• RQ2 감소형 $L^2$-베티 수가 비감소형과 동일한가? 이는 국소적으로 컴 pact한 맥락에서도 성립하는가?
• RQ3 격자 $Γ$의 $L^2$-베티 수는 $G$ 자체의 것과 어떻게 관련되어 있으며, $Γ$의 $G$에서의 커버olume에 의한 스케일링이 성립하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $G$의 $L^2$-베티 수가 퇴화하는가? 특히 $G$가 비콤팩트 애먼 정규부분군을 포함할 경우에 대해.
• RQ5 군 $G$의 애먼성은 관련 횡단면 동치관계 $Ω$의 애먼성으로 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 유니모듈라 lcsc 군 $G$의 $L^2$-베티 수는 횡단면 위에 유도된 가산 확률측도보존 동치관계 $Ω$의 것과 비례하며, 비례 상수는 횡단면의 커버olume과 같다.
• 감소형과 비감소형 $L^2$-베티 수가 동일하며, 이는 국소적으로 컴 pact한 군에 대한 $L^2$-불변량 이론에서 핵심적인 질문을 해결한다.
• 격자 $Γ$의 $L^2$-베티 수는 $G$에 속한 임의의 두 격자 $Γ, Γ'$에 대해 $β^{n}_{(2)}(Γ) = \frac{\text{covol}(Γ)}{\text{covol}(Γ')} β^{n}_{(2)}(Γ')$ 를 만족하며, 이는 이산 경우를 일반화한다.
• 만약 $G$가 비콤팩트 애먼 닫힌 정규부분군을 갖는다면, 감소형 $L^2$-코homology $υυ^{n}(G, L^2(G))$는 모든 $n \neq 0$에 대해 퇴화한다. 이는 Cheeger-Gromov 결과를 국소적으로 컴 pact한 맥락으로 확장한다.
• 연결된 애먼 군의 경우, 차수 1에서 감소형 $L^2$-코homology는 퇴화하며, 이는 횡단면 동치관계를 기반으로 한 새로운 직접적 증명을 통해 기존 결과를 확인한다.
• 군 $G$의 애먼성은 관련 횡단면 동치관계 $Ω$의 애먼성과 동치이며, 이는 $L^∞$-대수 위의 $G$-불변 평균과 조건부 기대의 존재를 통해 증명된다.