[논문 리뷰] $L^2$-harmonic $p$-forms on submanifolds with finite total curvature

Jundong Zhou|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구 위의 완전하고 비유한 부분다양체에서 정규(bundle)이 평탄한 경우에 대해 두 가지 주요 결과를 확립한다: (1) 총 곡률가 충분히 작을 경우, $L^2$-조화 $p$-형식의 공간은 자취한다 ($H^p(L^2(M)) = \{0\}$); (2) 총 곡률가 유한할 경우, 이 공간의 차원은 유한하다. 증명은 소볼레프 부등식, $L^2$-추정, 모저 반복 기법을 통해 조화형식의 점별 성장률을 통제하는 데 기반한다.

ABSTRACT

Let $H^p(L^2(M))$ be the space of all $L^2$-harmonic $p$-forms $(2\leq p\leq n-2)$ on complete submanifolds $M$ with flat normal bundle in spheres. In this paper, we first show that $H^p(L^2(M))$ is trivial if the total curvature of $M$ is less than a positive constant depending only on $n$. Second, we show that the dimension of $H^p(L^2(M))$ is finite if the total curvature of $M$ is finite. The vanishing theorem is a generalized version of Gan-Zhu-Fang theorem and the finiteness theorem is an extension of Zhu-Fang theorem.

연구 동기 및 목표

• $L^2$-조화 2-형식에 대한 간-주-방 자취 정리의 일반화를 $2 \leq p \leq n-2$인 $p$-형식으로 확장하는 것.
• 같은 총 곡률 유한 조건 하에서 1-형식에 대한 주-방의 유한성 결과를 $p$-형식으로 확장하는 것.
• 자취 및 유한성에 대한 정확한 곡률 임계값을 차원 $n$에만 의존하는 것으로 설정하는 것.
• 구 안의 부분다양체에서 총 곡률, 정규(bundle) 평탄성, $L^2$-코homology 간의 상호작용을 분석하는 것.

제안 방법

• 구 위의 부분다양체에 적합한 소볼레프 부등식(보조정리 2.1)을 활용하며, 평균 곡률 $|H|$와 계량을 포함한다.
• $L^2$-추정과 보chner 유형 항등식을 적용하여 조화 $p$-형식의 $L^2$-노름을 제2 기본형식 $\Phi$를 통해 통제한다.
• 절단 함수 $\tau_k$를 사용한 $|\omega|^q$에 대한 모저 반복 기법을 통해 $L^2$-노름에서 점별 $L^\infty$-상한을 유도한다.
• $q_k = \frac{2n^k}{(n-2)^k}$와 $\tau_k$를 사용한 반복 체계를 적용하여, 점점 줄어드는 구에 포함된 영역에서 $L^2$-제약을 $L^\infty$ 제어로 확장한다.
• $L^\infty$-상한을 활용한 체적 비교를 통해 고정된 구 안에서 $\sup |\omega|^2$와 $|\omega|^2$의 적분을 연결한다.
• $L^\infty$-상한과 [25]의 보조정리 11에서 유도된 차원 추정을 조합하여 $\dim H^p(L^2(M))$의 유한성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $2 \leq p \leq n-2$인 경우, 총 곡률 조건이 $H^p(L^2(M))$의 자취를 보장하는가?
• RQ2 총 곡률의 유한성은 $2 \leq p \leq n-2$인 경우 $H^p(L^2(M))$의 차원 유한성을 암시하는가?
• RQ3 $p=2$인 경우의 자취 결과를 $n$에만 의존하는 곡률 임계값 하에 고차원 $p$-형식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 모든 $p$에 대해 $H^p(L^2(M)) = \{0\}$이 되는 일관된 곡률 임계값 $c(n)$이 존재하는가? 이때 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$이다.
• RQ5 $\dim H^p(L^2(M))$의 유한성은 $M$의 비평탄한 끝이 유한 개 존재함을 의미하는가?

주요 결과

• $H^p(L^2(M))$의 공간은 자취한다 ($H^p(L^2(M)) = \{0\}$), 만약 총 곡률 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < c(n)$ 이며, $c(n)$은 $n$에만 의존하는 양수 상수일 경우.
• 모든 $\|\Phi\|_{L^n(M)} < \infty$ 이고 $2 \leq p \leq n-2$일 경우, $H^p(L^2(M))$의 차원은 유한하다.
• 자취 정리(정리 1.1)는 간-주-방의 정리 B를 $p=2$에서 $2 \leq p \leq n-2$로 일반화한다.
• 유한성 정리(정리 1.2)는 주-방의 정리 A를 $p=1$에서 $2 \leq p \leq n-2$로 확장한다.
• $L^\infty$-상한 $\sup_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2 \leq C_6 \int_{B_{r_0+1}(x_0)} |\omega|^2$는 모저 반복을 통해 도출되며, 차원의 유한성에 핵심적이다.
• $L^\infty$-상한과 복개 추론을 활용한 체적 정규화된 차원 추정을 통해 $H^p(L^2(M))$의 유한성은 도출된다.